1. Home
  2. Praktisk matematikkChevronRight
  3. GeometriChevronRight
  4. Mangekanter og sirklerChevronRight
  5. Vinkelsummen i en n-kantChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Vinkelsummen i en n-kant

Vi skal nå regne ut summen av vinklene i trekanter, firkanter og femkanter og lage en formel for vinkelsummen i en generell n-kant.

Bilde av en trekant

Tenk deg at du spaserer én runde langs linjestykkene på yttersiden av en trekant. Når du går fra ett linjestykke til et annet, endrer du retning slik som vinklene ɑ, b og c på figuren viser. Til sammen endrer du retning 360°. Det vil si at

a+b+c=360°

Summen av vinklene i trekanten er d+e+f.

d+e+f = (180°-a)+(180°-b)+(180°-c)=3·180°-(a+b+c) =3·180°-(360°)=3·180°-2·180°=(3-2)·180°=180°

Vinkelsummen i en trekant er 180 grader.

n - kant

Nå gjør vi det samme med en femkant. Tenk deg at du spaserer én runde langs linjestykkene på yttersiden av en femkant. Når du går fra ett linjestykke til et annet, endrer du retning slik som vinklene ɑ, b, c, d og e på figuren til høyre viser. Til sammen endrer du retning 360°. Det vil si at

a+b+c+d+e=360°

Da kan vi regne ut summen av vinklene i femkanten

Vinkelsummen = 180°-a+180°-b+180°-c+180°-d+180°-e                  = 5·180°-a+b+c+d+e                 =5·180°-360°                 =3·180°+2·180°-360°                 =3·180°                 =5-2·180°=540°

Vinkelsummen i en femkant er 540 grader.

Bilde av en firkant

Prøv selv, bruk figuren, før tilsvarende bevis som for vinkelsummen i en trekant og en femkant, og overbevis deg selv om at setningen nedenfor må være riktig.

Vinkelsummen i en firkant er 360 grader.

Vi fikk også et annet resultat av utregningene.

  • Vinkelsummen i en 3-kant er 3-2·180°=1·180°=180°
  • Vinkelsummen i en 4-kant er 4-2·180°=2·180°=360°
  • Vinkelsummen i en 5-kant er 5-2·180°=3·180°=540°

Vi kan gjøre tilsvarende resonnement for alle mangekanter.

Vinkelsummen i en n-kant

Vinkelsummen i en n-kant er n-2·180°.

Læringsressurser

Mangekanter og sirkler