Hopp til innhold

  1. Home
  2. Praktisk matematikkChevronRight
  3. VekstfartChevronRight
TasksAndActivitiesOppgaver og aktiviteter

Oppgave

Vekstfart

Oppgavene løses med hjelpemidler.

6.1

Funksjonene g, h og i er gitt ved funksjonsuttrykkene nedenfor. For hver av funksjonene skal du først tegne grafen. Deretter velger du ut 2 punkter på grafen og bruker disse punktene til å regne ut vekstfarten. Sjekk om vekstfarten er lik stigningstallet du kan lese direkte av grafen.

a) gx=2x+4

vis fasit
g av x er lik 2 x pluss 4.Graf.
Grafen til g(x)

Vekstfart =4-00-(-2)=42=2.

Vi ser at vekstfarten er lik stigningstallet.

b) hx=-x-8

vis fasit
h av x er lik minus x minus 8. Graf.

Vekstfart =-4-2-4-(-10)=-66=-1.

Vi ser at vekstfarten er lik stigningstallet.

c) ix=12x

vis fasit
i av x er lik 12 x. graf.

Vekstfart=12-(-12)1-(-1)=242=12.

Vi ser at vekstfarten er lik stigningstallet.

6.2

Funksjonene g, h, i og f er gitt ved funksjonsuttrykkene nedenfor. For hver av funksjonene skal du velge ut to verdier for x. Deretter regner du ut veksthastigheten ved å regne ut funksjonsverdiene til de valgte x-verdiene. Sjekk om vekstfarten er lik stigningstallet du kan lese direkte av funksjonsuttrykket.

a) gx=2x+4

vis fasit

Jeg velger ut verdiene x1=2 og x2=4. Jeg skriver inn funksjonen på skrivelinjen i GeoGebra og regner i CAS.

g(4)-g(2)4-212

Vi ser at vekstfarten er lik stigningstallet.

b) hx=-3x+2

vis fasit

Jeg velger ut verdiene x1=2 og x2=4. Jeg skriver inn funksjonen på skrivelinjen i GeoGebra og regner i CAS.

h(4)-h(2)4-21-3

Vi ser at vekstfarten er lik stigningstallet.

c) ix=600+5x

vis fasit

Jeg velger ut verdiene x1=2 og x2=4. Jeg skriver inn funksjonen på skrivelinjen i GeoGebra og regner i CAS.

i(4)-i(2)4-215

Vi ser at vekstfarten er lik stigningstallet.

d) fx=-23x+7

vis fasit

Jeg velger ut verdiene x1=2 og x2=4 . Jeg skriver inn funksjonen på skrivelinjen i GeoGebra og regner i CAS.

f(4)-f(2)4-21-23

Vi ser at vekstfarten er lik stigningstallet.

Kronhjort med sitt harem. Bilde.

6.3 (Eksamen 1P våren 2013)

Funksjonen h gitt ved

ht=3,25t3-50t2+170t+700

var en god modell for hjortebestanden i en kommune i perioden 1990-2000. Ifølge modellen var det h(t) hjort i kommunen t år etter 1. januar 1990.

a) Tegn grafen til h for 0t10 .

vis fasit

Jeg tegner grafen i GeoGebra. Bruker kommandoen «Funksjon[funksjon, start, slutt]».

h av t er lik 3 komma 25 t i tredje minus 50 t i andre pluss 170 t pluss 700. Graf.

b) Når var hjortebestanden størst, og hvor mange hjort var det i kommunen da?

vis fasit

Bruker kommandoen «Ekstremalpunkt[polynom]» og finner toppunktet på grafen til h.

h av t er lik 3 komma 25 t i tredje minus 50 t i andre pluss 170 t pluss 700 med toppunket 2 komma 15 866 komma 67 markert. Graf.

Hjortebestanden var størst litt ut i 1992. Den var da på 867 dyr.

c) Løs likningen h(t)=850 grafisk, og forklar hva løsningen forteller om hjortebestanden.

vis fasit

Legger inn en linje y=850 i samme koordinatsystem som grafen til h.
Finner skjæringspunktene mellom denne linjen og grafen til h ved å bruke kommandoen «Skjæring mellom to objekt».

h av t er lik 3 komma 25 t i tredje minus 50 t i andre pluss 170 t pluss 700 med skjæringspunktene til y=850 er 1 komma 42 850 og 2 komma 95 850. Graf.

Hjortebestanden er på 850 dyr 1,4 år og 2,9 år etter 1990. Det vil si midt i 1991 til rett før
årsskifte 1993-1994.

d) Hvor stor var den gjennomsnittlige endringen i antall hjort per år i perioden 1. januar 1994 – 1. januar 1998?

vis fasit

Bruker CAS-verktøyet i GeoGebra og finner:

h(8)-h(4)8-41-66

Vi finner at hjortebestanden synker i gjennomsnitt med 66 dyr hvert år i denne perioden.

6.4

Grafen til en lineær funksjon går gjennom to oppgitte punkter. Regn ut stigningstallet a til grafen når de oppgitte punktene er

a) (3, 7) og (5, 9).

vis fasit

a=9-75-3=22=1

b) (-1, -8) og (-4, 1).

vis fasit

a=-8-1-1-(-4)=-93=-3

6.5

Du får oppgitt at funksjonen f er en lineær funksjon. Du får videre oppgitt at  f(-2)=-3 og at
f(4)=9. Finn vekstfarten a til f.

vis fasit

a=f(4)-f(-2)4-(-2)=9-(-3)4-(-2)=126=2

6.6

Morelltre i blomstring. Bilde.

Funksjonen

hx=-0,003x3+0,09x2+1

viser høyden i meter til et morelltre de 20 første årene etter at det ble plantet i 1986.

a) Finn grafisk hvor mye treet vokste i gjennomsnitt per år i perioden 1994 til 1999.

vis fasit
h av x er lik minus 0 komma 003 x i tredje pluss 0 komma 09 x i andre pluss 1. Graf.

Vi ser grafisk (stigningstallet til sekanten y) at treet i gjennomsnitt vokste 88 cm per år i perioden 1994 til 1999.

b) Finn videre hvor mye treet vokste i gjennomsnitt per år i perioden 2003 til 2006.

vis fasit
h av x er lik minus 0 komma 003 x i tredje pluss 0 komma 09 x i andre pluss 1. Graf.

Vi ser grafisk (stigningstallet til sekanten y) at treet i gjennomsnitt vokste 24 cm per år i perioden fra 2003 til 2006.

6.7

Funksjonene f og g er gitt ved

fx=-0,5x3+3x2-3x+3.

og

gx=0,20x3-0,60x2+4

For hver av funksjonene skal du

a) Finne gjennomsnittlig vekstfart x når vokser fra  x1=1  til  x2=2.

vis fasit

Jeg skriver inn begge funksjonene på skrivelinjen i GeoGebra og regner i CAS:

f(2)-f(1)2-112.5g(2)-g(1)2-12-0.4

b) Finne gjennomsnittlig vekstfart når x vokser fra  x1=1  til  x2=1,1.

vis fasit

f(1.1)-f(1)1.1-111.65g(1.1)-g(1)1.1-12-0.6

c) Sammenlikn svarene i a) og b). Hvilket av disse svarene gir en mest korrekt verdi for vekstfarten når  x=1?

vis fasit
f av x er lik minus 0 komma 5 x i tredje pluss 3 x i andre minus 3 x pluss 3 . Graf.

Figuren viser at vi får mest riktig verdi for vekstfarten når vi lar x øke fra 1 til 1,1.

6.8

Forskere har undersøkt veksten til trær i et bestemt skogområde. Det viser seg at høyden til et tre, h(t), målt i meter tilnærmet kan beskrives med en matematisk modell. De første åtte årene gjelder funksjonen

ht=0,02t3-0,25t2+1,15t+0,15

der t er antall år etter utplanting.

a) Hva er den gjennomsnittlige vekstfarten fra år 1 til år 4?

vis fasit

Jeg skriver inn funksjonen på skrivelinjen i GeoGebra og regner i CAS:

h(4)-h(1)4-110.32

b) Skriv noen ord om hvordan høyden til treet forandrer seg fra år til år.

vis fasit
h av t er lik 0 komma 02 t i tredje minus 0 komma 25 t i andre pluss 1 komma 15 t pluss 0 komma 15. Graf.

Ut fra grafen til høydefunksjonen kan vi lese følgende:
Treet vokser raskt de første to årene. De neste fire årene er veksten mindre. De siste to årene er veksten igjen mye større. Det ser ut til at veksten er veldig stor den første tiden etter planting. Så avtar veksten gradvis fram mot år 4. Deretter øker veksten stadig sterkere.

6.9

Funksjonen f gitt ved

fx=x2+x-6 ,   Df=R.

a) Finn grafisk den momentane vekstfarten til f for  x=-2, x=-1, x=0  og  x=1.

vis fasit

Jeg finner først punktene på grafen med de aktuelle x-verdiene. For eksempel når  x=1 , så har punktet på grafen koordinatene (1, f(1)).
Jeg finner så likningene for tangentene til grafen i de aktuelle punktene med kommandoen «Tangenter».
Stigningstallene til disse tangentene er lik den momentane vekstfarten for de aktuelle x-verdiene.


f av x er lik x i andre pluss x minus 6. Graf.

Den momentane vekstfarten når  x=-2  er -3.

Den momentane vekstfarten når  x=-1 er -1.

Den momentane vekstfarten når  x=0 er 1.

Den momentane vekstfarten når  x=1 er 3.

b) Ser du noen sammenheng mellom fortegnet til den momentane vekstfarten og formen til grafen?

vis fasit

Når fortegnet til den momentane vekstfarten er negativt, synker grafen når vi går fra venstre mot høyre.
Når fortegnet til den momentane vekstfarten er positivt, stiger grafen når vi går fra venstre mot høyre.

Eksempeloppgave 1P +2P, Desember 2007

Nedenfor er det beskrevet 6 ulike situasjoner. For hver situasjon skal du finne en funksjon som beskriver situasjonen.

Tre av funksjonene finner du her:

Ax = 1,60x+125Bx=100x-x2Cx=100·0,95x

De tre andre skal du finne fram til på egen hånd.

Situasjon 1, 2 og 3

En teleoperatør opererer med følgende alternativer for mobilabonnement:

Prisplan

Situasjon 1
(Alternativ 1)

Situasjon 2
(Alternativ 2)

Situasjon 3
(Alternativ 3)

Månedsavgift (kr)

60

125

240

Samtalepris per minutt (kr)

2,50

1,60

1,10

Finn tre ulike funksjoner som beskriver hvert av de tre alternativene i tabellen ovenfor.

vis fasit

Situasjon 1: f(x) = 2,50x+60Situasjon 2: A(x )=1,60x +125Situasjon 3: g(x)=1,10x +240

Kjøttmeis i treet. Bilde.

Situasjon 4

Fra blant annet studier av ringmerkede kjøttmeiser har en funnet ut at innenfor et bestemt område dør 48 % av disse kjøttmeisene i løpet av ett år. Ett år ble det ringmerket 350 kjøttmeiser i dette området. Finn en funksjon som beskriver hvor mange av de ringmerkede kjøttmeisene som lever etter x år.

vis fasit

Situasjon 4:

h(x)=350(1-0,48)x=350·0,52x

Areal av rektangel. Bilde.

Situasjon 5

En gårdbruker har 200 meter gjerde og skal lage en rektangulær innhegning. Rektangelet er x meter langt. Finn en funksjon som viser hvor stort areal rektangelet får for ulike verdier av x.

vis fasit

Situasjon 5:

B(x)=(2002-x)·x=100x-x2

Dykker tar bilder under vann. Bilde.

Situasjon 6

Lysstyrken under vann minker med ca. 5 % for hver meter en er under havoverflaten. Dette betyr at på en dybde er lysstyrken 5 % mindre enn 1 meter høyere oppe. Finn en funksjon som viser lysstyrken x meter under havoverflaten.

vis fasit

Situasjon 6:

C(x)=100(1-0,05)x=100·0,95x

(Setter lysstyrken i overflaten til 100 %.)

Læringsressurser

SubjectEmne

Læringssti

SubjectEmne

Fagstoff

SubjectEmne

Oppgaver og aktiviteter