Hopp til innhold

  1. Home
  2. Praktisk matematikkChevronRight
  3. Lineære funksjonerChevronRight
TasksAndActivitiesOppgaver og aktiviteter

Oppgaver og aktiviteter

Lineære funksjoner

Oppgaver som løses uten hjelpemidler er merket med "Uten hjelpemidler". De andre oppgavene kan løses med hjelpemidler.

1.1 (Uten hjelpemidler)

Marker punktene (1, 1), (-1, -2), (-2, 1), (2, -3), (3, 0) og (0, -2) i et koordinatsystem.

vis fasit
Koordinatsystem med punkter. Bilde.

1.2

Gitt koordinatsystemet nedenfor. Angi koordinatene for punktene A til I.

Koordinatsystem med punkter. Illustrasjon.
vis fasit

A(-4, 3), B(-1, 4), C(0, 2),D(-4, -1), E(-1, 0), F(3, -1),G(0, 4), H(3, 4), I(4, 0) 

Utfordring!
Kan du finne avstanden fra origo til punktet H?

vis fasit

x2=32+42x2=25x=25=5

Avstanden fra origo til punktet H er 5.

1.3

Skriv opp funksjonsuttrykket for en funksjon som

  1. viser hva du må betale for x liter melk når hver liter koster 12,40 kroner.

    vis fasit

    f(x)=12,40x

  2. viser strekningen du har kjørt etter t timer når hastigheten er 80 km/time.

    vis fasit

    f(t)=80t

1.4 (Uten hjelpemidler)

Mann som jogger. Foto.

Verdens beste maratonløpere løper med tilnærmet konstant fart og bruker ca. 2 timer og 4 minutter på en maraton (42 195 meter).

  1. Hvor mange km tilbakelegger disse løperne per minutt?

    vis fasit

    2 timer og 4 minutter er 124 minutter.

    Distanse per minutt: 42195 m124 min340 m/min

  2. Lag en funksjon som viser sammenhengen mellom distansen, d, løperne tilbakelegger
    og tiden, t.

    vis fasit

    d(t)=340·t

  3. Lag en verditabell for følgende t-verdier: 30, 60, 90, 120.

    vis fasit

    Verditabell

    t

    30

    60

    90

    120

    d(t)

    10200

    20400

    30600

    40800

  4. Tegn grafen og finn ut hvilken distanse løperne har tilbakelagt når de har løpt i 45 minutter. Marker i koordinatsystemet.

    vis fasit
    Grafe som viser tilbakeladt distanse. Graf.

    Leser av grafen at de har løpt 15 300 meter, dvs. 15,3 km på 45 minutter.

1.5 (Uten hjelpemidler)

Camilla har et mobilabonnement. Hun betaler 99 kroner i fast pris per måned og 0,49 kroner per ringeminutt, t. Kostnadene, k, ved å bruke mobiltelefonen en måned kan vi skrive som

kt=0,49t+99

der t varierer fra og med 50 til og med 200.

  1. Lag en verditabell for k.

    vis fasit

    Verditabell

    t

    50

    100

    150

    k(t)

    123,50

    148,00

    172,50

  2. Tegn grafen til k.

    vis fasit
    Graf som viser utgifter til mobil. Graf.
  3. Finn grafisk hvor mange minutter Camilla har ringt når kostnadene er 160 kroner.

    vis fasit

    Jeg leser av grafen i b) at Camilla har ringt i ca. 125 minutter når kostnaden er 160 kroner.

1.6

De tre lineære funksjonene f, g og h er gitt nedenfor.
Skriv ned stigningstallet og konstantleddet til hver av de tre funksjonene.

  1. fx=2x+2

    vis fasit

    Stigningstall 2

    Konstantledd 2

  2. gx=-3x-2

    vis fasit

    Stigningstall -3

    Konstantledd -2

  3. hx=x

    vis fasit

    Stigningstall 1

    Konstantledd 0

  4. Hva forteller stigningstallet og konstantleddet oss om grafen til en lineær funksjon?

    vis fasit

    Stigningstallet forteller hvor raskt grafen til funksjonen vokser eller avtar. Jo større stigningstallet er, jo brattere er grafen.

    Konstantleddet forteller hvor grafen skjærer andreaksen. Når grafen skjærer andreaksen, er variabelen x lik 0.

1.7 (Uten hjelpemidler)

De tre lineære funksjonene f, g og h er gitt ved

fx = 0,5x+2gx=-2x+2hx=2x

For hver av de tre funksjonene skal du

  • Lage en verditabell som inneholder 3 ulike x-verdier
  • Markere punktene du finner i et koordinatsystem
  • Tegne en rett linje gjennom punktene
  1. f(x)=0,5x+2

    vis fasit

    Verditabell

    x

    -2

    0

    2

    f(x)

    1

    2

    3

    Koordinatsystem med grafen til f av x er lik 0 komma 5 x   2 tegna inn. Graf.
  2. g(x)=-2x+2

    vis fasit

    Verditabell

    x

    -2

    0

    2

    g(x)

    6

    2

    -2

    Koordinatsystem med grafen til g av x tegna inn. Graf.
  3. h(x)=2x

    vis fasit

    Verditabell

    x

    -2

    0

    2

    h(x)

    -4

    0

    4

    Koordinatsystem med grafen til h av x tegna inn. Graf.

1.8 (Uten hjelpemidler)

De tre lineære funksjonene f, g og h er gitt ved

fx = x-1gx=x+2hx=x-3

  1. Hvor skjærer hver av disse grafene andreaksen?
  2. vis fasit

    Konstantleddet til f(x) er -1. Grafen til f(x) skjærer dermed andreaksen i punktet (0, -1) .

    Konstantleddet til g(x) er 2. Grafen til g(x) skjærer dermed andreaksen i punktet (0, 2) .

    Konstantleddet til h(x) er -3. Grafen til h(x) skjærer dermed andreaksen i punktet (0, -3) .

  3. Kan du si noe om hvordan disse grafene går i forhold til hverandre og hvorfor det er slik?

    vis fasit

    Funksjonene har samme stigningstall . Linjene er derfor parallelle.

  4. Tegn grafene til de tre funksjonene i samme koordinatsystem.

    vis fasit
    3 grafer i et koordinatsystem. Graf.

1.9

Bruk det du vet om stigningstallet og konstantleddet til en lineær funksjon til å tegne de rette linjene gitt ved

  1. fx=x-2
  2. vis fasit
    Graf til f av x. Graf.

    Grafen til f(x) har stigningstall 1 og konstantledd -2, dvs. at grafen skjærer andreaksen i -2. Vi kan ta utgangspunkt i -2 på andreaksen. Stigningstallet på 1 forteller at dersom vi beveger oss en enhet til høyre langs førsteaksen, stiger grafen med 1 enhet. Vi kan sette av to punkter til og tegne en rett linje gjennom punktene.

  3. gx=-x+2

    vis fasit
    Grafen  til funksjonen. Graf.

    Grafen til g(x) har stigningstall -1 og konstantledd 2, dvs. at grafen skjærer andreaksen i 2. Vi kan ta utgangspunkt i 2 på andreaksen. Stigningstallet på -1 forteller at dersom vi beveger oss en enhet til høyre langs førsteaksen, synker grafen med 1 enhet. Vi kan sette av to punkter til og tegne en rett linje gjennom punktene.

  4. hx=2x+0,5

    vis fasit
    Grafen  til funksjonen. Graf.

    Grafen til h(x) har stigningstall 2 og konstantledd 0,5, dvs. at grafen skjærer andreaksen i 0,5. Vi kan ta utgangspunkt i 0,5 på andreaksen. Stigningstallet på 2 forteller at dersom vi beveger oss en enhet til høyre langs førsteaksen, stiger grafen med 2 enheter. Vi kan sette av to punkter til og tegne en rett linje gjennom punktene.

1.10

Kryssende linjer i koordinatsystem. Bilde.

På figuren til høyre ser du to rette linjer i et koordinatsystem. Hva er konstantleddet i funksjonsuttrykket til hver av disse to linjene?

vis fasit

Konstantleddet finner vi ved å se på hvor grafene skjærer andreaksen.

Den røde linja skjærer andreaksen i punktet (0, -1).

Konstantleddet er dermed -1.

Den blå linja går gjennom origo. Konstantleddet er da lik 0 .

Rett linje i koordinatsystem. Bilde.

1.11

  1. Finn stigningstallet til den rette linja som er tegnet i koordinatsystemet til høyre.

    vis fasit

    Vi kan ta utgangspunkt i et punkt på grafen, for eksempel punktet (1, 1) .

    Når vi beveger oss 1 enhet til høyre langs førsteaksen, stiger grafen med 2 enheter.

    Stigningstallet er 21=2.

  2. Skriv opp funksjonsuttrykket til den lineære funksjonen som gir denne rette linja.

    vis fasit

    Grafen skjærer andreaksen i punktet (0, -1) . Konstantleddet er dermed -1.

    Funksjonsuttrykket kan da skrives som f(x)=2x-1

  3. Hva er nullpunktet til funksjonen?

    vis fasit

    Nullpunktet er der grafen skjærer førsteaksen.

    Grafisk ser vi at nullpunktet er x=12 .

    Ved regning setter vi f(x)=0:

    f(x)=02x-1=02x=1x=12

1.12

I koordinatsystemet nedenfor er det tegnet fire grafer. Forklar hvilket av funksjonsuttrykkene nedenfor som hører sammen med hvilken graf.

Linjer i koordinatsytem. Bilde.

fx = 2x-1gx=-2x+2hx=-xix=-2

vis fasit

f(x) er graf c.

g(x) er graf b.

h(x) er graf a.

i(x) er graf d.

1.13

I koordinatsystemet nedenfor har vi tegnet grafene til de fem funksjonene f, g , h , i og j . Skriv ned funksjonsuttrykket til hver av de 5 funksjonene.

Kryssende linjer i koordinatsystem. Bilde.
vis fasit

f(x)=3g(x)=xh(x)=4x-1i(x)=-3x+2j(x)=-12x-32

1.14

Ei rett linje går gjennom punktene (0, -1) og (1, 1).

  1. Hva er stigningstallet til denne rette linja?

    vis fasit

    Jeg tegner linjen gjennom de to punktene i GeoGebra.

    Grafen  til funksjonen. Graf.

    Vi starter i punktet (0, -1) på linjen, går én enhet til høyre, og ser at vi må gå to enheter opp for igjen å treffe linjen. Det betyr at stigningstallet er a=2.

  2. Finn likningen for linja gjennom disse punktene.

    vis fasit

    Linja skjærer y-aksen i punktet (0, -1).

    Det betyr at b=-1 .

    Alle rette linjer kan skrives på formen y=ax+b.

    Det betyr at likningen for linjen er y=2x-1.

1.15

Ei rett linje har stigningstall 2 og går gjennom punktet  (2, 2). Finn likningen for linja.

vis fasit

Jeg tegner linjen i GeoGebra. Linja skjærer andreaksen i -2 og har stigningstall 2.

Det betyr at likningen for linjen er y=2x-2.

Grafen  til funksjonen. Graf.

1.16

Gitt funksjonene fx=-32x+5 og gx=2x-2.

  1. Tegn grafene til de to funksjonene i samme koordinatsystem.

    vis fasit
    Grafen  til funksjonen. Graf.
  2. Finn skjæringspunktet mellom grafene grafisk.

    vis fasit

    Jeg brukte kommandoen «Skjæring mellom to objekt» og fant at punktet A(2, 2) er skjæringspunktet mellom grafene. Se grafen i oppgave A.

  3. Finn skjæringspunktet mellom grafene ved regning, både med og uten digitale hjelpemidler.

    vis fasit

    Ved CAS:

    f av x er lik g av x. CAS.

    Uten bruk av digitale hjelpemidler:

    f(x)=g(x)-32x+5=2x-2-3x+10=4x-4-3x-4x=-4-10-7x=14x=2

    g(2)=2·2-2=4-2=2

    Jeg får både med og uten digitale hjelpemidler at skjæringspunktet er (2, 2).

  4. Finn nullpunktene til funksjonene grafisk og ved regning. Ved regning både med og uten digitale hjelpemidler.

    vis fasit

    Grafisk brukte jeg kommandoen «Skjæring mellom to objekt» og fant skjæringspunktene mellom grafene og x-aksen. (Jeg kunne også brukt kommandoen «Nullpunkt[ ]»).

    Funksjonen f har nullpunkt for x=3,3 (se punktet C på grafen i oppgave A) og funksjonen g har nullpunkt x=1 (se punktet B).

    Ved regning uten digitale hjelpemidler:

    f(x)=0g(x)=0-32x+5=02x-2=0-3x=-102x=2x=103x=1

    Ved CAS:

    f av x er lik 0.CAS.

    Jeg får samme nullpunkter ved regning som grafisk.

1.17

Ung mann snakker i mobiltelefon. Foto.

Per jobber som telefonselger. Lønnen er basert på en grunnlønn per time på 105 kroner. I tillegg får han 10 kroner for hvert salg han oppnår.

  1. Lag en funksjon Lsom viser timelønnen i kroner når han oppnår s antall salg.

    vis fasit

    L(s)=10s+105

  2. Tegn grafen til funksjonen L i et koordinatsystem.

    vis fasit
    Grafen  til funksjonen. Graf.
  3. Hvor mange salg har Per hatt når timelønnen var 175 kroner?

    vis fasit

    Jeg brukte kommandoen «Skjæring mellom to objekt» og fant at punktet A(7, 175) er skjæringspunktet mellom grafen til L(s) og linjen y=175. Punktet A(7, 175) på grafen viser at Per har hatt 7 salg når timelønnen var 175 kroner.

    Dette finner vi også ved regning i CAS:

    L av s er lik 175.CAS.

1.18

På en terminprøve i matematikk har Trine tatt med seg en flaske med kaldt kildevann. Temperaturen i vannet var 5 °C ved starten av prøven og stiger jevnt med 5,4 °C i timen i løpet av de 3 første timene prøven varer.

  1. Lag en funksjon T for temperaturen i vannet xantall minutter etter at prøven startet.

    vis fasit

    Temperaturstigningen er 5,3°C60 min=0,09 °C per minutt.

    T(x)=0,09x+5

  2. Hva er temperaturen i vannet etter 1,5 timer?

    vis fasit

    T(90)=0,09°Cmin·90 min+5°C=13,1°C

  3. Tegn grafen til Ti et koordinatsystem. La x variere fra 0 til 180.

    vis fasit
    Grafen  til funksjonen. Graf.
  4. Når var temperaturen i vannet 14°C?

    vis fasit

    Vi leser av grafen at temperaturen i vannet var 14°C etter 100 minutter, det vil si etter 1 time og 40 minutter.

  5. Anette hadde også med seg en flaske med kildevann på prøven. Funksjonen f viser temperaturen i vannet til Anette x antall minutt etter at prøven startet:

  6. fx=0,08x+6,5

  7. Hva var temperaturen i vannet til Anette da prøven startet?
    vis fasit

    Da prøven startet var x=0 . Temperaturen var da 6,5°C.

1.19

Tabellen nedenfor viser folkemengden i Norge for noen utvalgte år i perioden fra 1950 til 2000.

År

1950

1960

1970

1980

1990

2000

Folkemengde

3 249 954

3 567 707

3 863 221

4 078 900

4 233 116

4 478 497

  1. Plott punktene i et koordinatsystem og finn et tilnærmet lineært uttrykk for en funksjon f som beskriver sammenhengen mellom år og folkemengde ved å bruke et digitalt hjelpemiddel. La xvære antall år etter 1950 og f(x)folkemengden i millioner.

    vis fasit
    Grafen  til funksjonen. Graf.

    Jeg bruker lineær regresjon i GeoGebra og finner at funksjonen f kan beskrives med uttrykket f(x)=0,024x+3,315.

  2. Hvor mye øker folkemengden med per år ut fra uttrykket du fant i a)?

    vis fasit

    Av funksjonsuttrykket ser vi at stigningstallet er 0,024. Økningen i folkemengde per år er 0,024 millioner, altså 24 000 individer.

  3. Dersom denne utviklingen fortsetter, hva vil folkemengden i Norge være i år 2050?

    vis fasit

    Variabelen x er antall år etter 1950. Vi setter da x lik 100 i funksjonen vi fant ovenfor og finner folkemengden i Norge i år 2050.

    f(100)=0,024·100+3,315=5,715

    Folkemengden i Norge vil være 5 715 000 i år 2050 etter denne modellen.

1.20

Tabellen nedenfor viser utslipp av svoveldioksid til luft i Norge for noen utvalgte år fra 1973 til 2000.

År

1973

1980

1987

1992

1996

2000

Utslipp til
luft SO2 i
1000 tonn

156,4

136,4

73,1

37,0

33,1

27,3

  1. Plott punktene i et koordinatsystem og finn et tilnærmet lineært uttrykk for en funksjon S som beskriver sammenhengen mellom år og utslipp.

    La x være antall år etter 1973 og S(x) utslippet av svoveldioksid i tusen tonn.
    vis fasit
    Grafen  til funksjonen. Graf.

    Jeg bruker lineær regresjon i GeoGebra og finner at funksjonen S kan beskrives med uttrykket S(x)=-5,39x+158.

  2. Når var utslippet av svoveldioksid 100 tusen tonn?

    vis fasit

    Jeg finner skjæringspunktet mellom linjen og grafen til funksjonen ved kommandoen «Skjæring mellom to objekt».

    Jeg finner at utslippet av SO2 er 100 tusen tonn omtrent 11 år etter 1973, dvs. i 1984.

  3. Hva vil utslippet være i år 2010 dersom vi følger denne modellen. Kommenter svaret.

    vis fasit

    Utslipp i år 2010: S(37)=-5,39·37+1558=-41,43.

    Utslippet kan ikke være negativt. Modellen ovenfor kan ikke brukes til å anslå utslipp i lang tid framover. Når vi ser på punktene og grafen ovenfor, ser vi at modellen passer bra fram til 1996. Modellen passer dårlig etter 1996.

Læringsressurser

SubjectEmne

Læringssti

SubjectEmne

Fagstoff

SubjectEmne

Oppgaver og aktiviteter