Hopp til innhold

  1. Home
  2. Praktisk matematikkChevronRight
  3. VekstfartChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagstoff

Vekstfart

Her ser vi på gjennomsnittlig og momentan vekstfart til funksjoner, med definisjoner og eksempler. Vi starter med rette linjer.

Vekstfart til lineære funksjoner

En lineær funksjon kan skrives på formen fx=ax+b.
Tallet a kalles stigningstallet, og b tallet kalles konstantleddet.

Jordbær, blåbær og bringebær. Bilde.

Eline selger bær på torget. Hun har en fast timelønn på 100 kroner. I tillegg får hun 3 kroner per kilo hun selger.

Vi lar x være antall kilo Eline selger per time, og fxtimelønna.
Da er timelønna en lineær funksjon

fx=3x+100

Stigningstallet forteller at timelønna øker med 3 kroner for hver ekstra kilo Eline selger.

Stigningstallet forteller altså hvor fort funksjonen vokser og kalles derfor også for vekstfarten til funksjonen.

Hvis Eline selger 20 kg per time, er timelønna 160 kroner. Hvis Eline selger 40 kg per time, er timelønna 220 kroner.

Vi kan alltid regne ut vekstfarten eller stigningstallet til en rett linje når vi kjenner to punkter på grafen.

Stigningstallet er alltid lik endring y-verdiene dividert med endring i x-verdiene.

Tegning av graf i GeoGebra

Vekstfarten a blir

a = f40-f2040-20=220-16040-20=6020=3

Timelønna til Eline vokser med 3 kroner for hvert ekstra kg med bær hun selger per time.

Vekstfart til funksjoner som ikke er lineære

Niels Henrik. Illustrasjon.

Gjennomsnittlig vekstfart

Som 13 åring var Niels Henrik 149 cm høy. Fire år senere var han 181 cm. Niels Henrik vokste ikke like fort hele tiden i disse årene.

Men vi kan regne ut at den gjennomsnittlige vekstfarten til Nils Henrik i fireårsperioden blir

Gjennomsnittlig vekstfart=181 cm-149 cm4 år=32 cm4 år=8 cm per år

Morelltre i blomstring. Bilde.

I 2006 plantet Elin et morelltre.

Funksjonen h, for de første årene etter planting, er gitt ved

hx=-0,003x3+0,09x2+1

og viser høyden til morelltreet i meter x år etter at det ble plantet.

Vi tegner grafen til funksjonen og ser at kurven blir brattere og brattere de første årene. Treet vokser fortere og fortere.

Vi finner grafisk at treet er 1,09 meter ett år etter planting og 2,25 meter fire år etter planting.

Vi kan regne ut gjennomsnittlig vekstfart fra år 2007 til år 2010

Grafisk visning av vekst i morellttre. Bilde.

På grafen har vi tegnet linjen (sekanten) gjennom punktene (1, 1.09) og (4, 2.25) og finner at stigningstallet til denne sekanten er lik gjennomsnittlig vekstfart fra år 1 til år 4.

I perioden 2007 til 2010 vokste treet med gjennomsnittlig 39 cm per år.

Vi ser av grafen at treet vokser fortere etter fire år enn etter ett år. Grafen er mye brattere når x=4 enn når x=1.

Momentan vekstfart

Vi ønsker å finne en tilnærmet verdi for hvor fort treet ovenfor vokser når det er akkurat ett år gammelt. Vi finner først gjennomsnittlig vekstfart fra det første året til det tredje året som en tilnærmingsverdi og deretter fra det første året til det andre året.

Vekstfart. Graf.

Grafene ovenfor viser at gjennomsnittlig vekstfart fra det første året til det tredje året er 32 cm per år, og at gjennomsnittlig vekstfart fra det første året til det andre året er 25 cm per år.

Stigningen til sekantene blir mer og mer lik brattheten til grafen når x=1 jo nærmere hverandre de to punktene er. Av de to tilnærmingsverdiene, er det derfor den siste som er den beste tilnærmingen.

Vekstfart. Graf.

For å finne enda bedre tilnærmingsverdier reduserer vi avstanden mellom punktene enda mer.

Til slutt vil punktene falle sammen til ett punkt, og sekanten blir en tangent til kurven i dette punktet.

Stigningstallet til denne tangenten gir den aller beste tilnærmingsverdien for vekstfarten til treet når det er akkurat ett år gammelt.

Vi kaller dette for den momentane vekstfarten når treet er ett år gammelt.

Vi kan altså finne en tilnærmet verdi for den momentane vekstfarten i et punkt på en kurve ved å tegne en tangent til kurven i punktet og finne stigningstallet til denne tangenten.

I GeoGebra gjør vi dette ved å bruke kommandoene «Tangenter» og «Stigning».

Tangenter og stigning i GeoGebra. Bilde.

Vi finner for eksempel at den momentane vekstfarten til treet nøyaktig 3 år etter planting er 0,46 meter per år.

Læringsressurser

SubjectEmne

Læringssti

SubjectEmne

Fagstoff

SubjectEmne

Oppgaver og aktiviteter