Hopp til innhold

  1. Home
  2. Praktisk matematikkChevronRight
  3. Funksjoner i praksisChevronRight
  4. EksponentialfunksjonerChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Eksponentialfunksjoner

En eksponentialfunksjon er gitt på formen a multiplisert med en potens med b som grunntall og den ukjente x i eksponenten. Tallet b kalles vekstfaktoren. Eksponentialfunksjoner er bare definert for positive verdier av b, og vi skal bare se på funksjoner der også a er positiv.

Funksjonene g og h gitt nedenfor er eksempler på eksponentialfunksjoner.

graf over funksjonene

gx = 2,5·1,5xhx=6,5·0,8x

Når vekstfaktoren er større enn 1, øker funksjonsverdiene med en fast prosent i like lange perioder. Sammenhengen mellom den prosentvise veksten p og vekstfaktoren b er gitt ved likningen

b=1+p100

Når vekstfaktoren er mindre enn 1, avtar funksjonsverdiene med en fast prosent i like lange perioder. Sammenhengen mellom den prosentvise nedgangen p og vekstfaktoren b er gitt ved likningen

b=1-p100

Antall individer i en populasjon i naturen vil øke eksponentielt hvis populasjonen har ubegrenset tilgang til mat og ingen fiender. Populasjonen vil ikke vokse så fort i begynnelsen, men etter hvert vil veksten øke mer og mer. Dette er karakteristisk for eksponentiell vekst. (Se grafen til g i koordinatsystemet ovenfor.)

Vi vil også få eksponentiell vekst på et bankinnskudd med en fast årlig rente.

Verdien på en gjenstand, for eksempel en bil, vil ofte utvikle seg som en eksponentialfunksjon med vekstfaktor mindre enn 1.

Praktiske eksempler med eksponentialfunksjoner

Eksempel 1

I algebrakapitlet lærte du om vekstfaktor. Hvis du setter 1000 kr i banken i dag og får 6 % rente på pengene, kan du om ett år ta ut 1000·1,06=1060 kroner av banken.

Tallet 1,06 kaller vi for vekstfaktoren. Hvis pengene står tre år i banken, vil de vokse til 1000·1,063=1191 kroner.

Hvis 1000 kroner står år i banken med 6 % rente, vil beløpet vokse til 1000·1,06x kroner.

Innestående beløp, B, er en funksjon av antall år i banken, x, og funksjonsuttrykket blir

Bx=1000·1,06x

Eksponentialfunkjson. graf.

Grafen til funksjonen viser for eksempel at beløpet på 1000 kroner har vokst til 1191 kroner etter 3 år (som vi regnet ut ovenfor) og til 2693 kroner etter 17 år.

Hvor lenge må pengene stå i banken før beløpet er fordoblet?

Vi finner svaret ved å tegne den rette linjen y=2·1000=2000 i samme koordinatsystem som grafen til B og så finne skjæringspunktet mellom linjen og grafen. Pengene må stå i banken i 12 år.

Eksempel 2

Bruktbilder

Kari kjøper en fire år gammel bil for 200 000 kroner. Bilen har sunket i verdi med 10 % hvert år siden den var ny. Kari regner med at verdien vil synke på samme måte de neste årene.

Bilens verdi Vx, x antall år etter at Kari kjøpte den, er da gitt ved

Vx=200 000·0,90x

Vi tegner grafen til V.

Graf

Av grafen kan vi lese at bilens verdi vil ha sunket til 100 000 kroner etter 6,6 år.

Avlesning på grafen viser også at bilens verdi for 4 år siden, altså bilens pris som ny, var ca. 305 000 kroner.

Læringsressurser

Funksjoner i praksis

SubjectEmne

Læringssti

SubjectEmne

Fagstoff

SubjectEmne

Oppgaver og aktiviteter