Hopp til innhold

  1. Home
  2. Praktisk matematikkChevronRight
  3. AndregradsfunksjonerChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Andregradsfunksjoner

Andregradsfunksjoner kan dukke opp i mange praktiske sammenhenger. Til forskjell fra lineære funksjoner kan andregradsfunksjoner ha et toppunkt eller et bunnpunkt.

Eksempel 1

Fra modelleringskapitlet er du kjent med funksjonen

Ax = x·6-xAx=-x2+6x

som beskriver arealet til et rektangel med variabel grunnlinje, x, men slik at omkretsen hele tiden skal være lik 12 meter.

Graf av areal i kvadratmeter som fuksjon. Bilde.

Vi skriver inn funksjonen

A(x)=Funksjon[-x2+6x, 0, 6]

på skrivelinjen i GeoGebra.

Vi kan finne toppunktet med verktøyet «Ekstremalpunkt» eller kommandoen «Ekstremalpunkt[<Polynom>]», og vi må skrive «Ekstremalpunkt[ A ]». Vi får punktet B(3, 9). Det betyr at arealet har sin største verdi på 9 m2 når x er lik 3 meter.

Grafen har to nullpunkter. Vi kan finne nullpunktene med kommandoen «Nullpunkt[<Polynom>]», og vi må skrive «Nullpunkt[ A ]». Vi får punktene C(0, 0) og E(6, 0). Det betyr at arealet er lik null når x enten er lik 0 meter eller 6 meter. Vi får da ikke noe reelt rektangel.

Vi skriver y=4 og får linjen a. Vi finner skjæringspunktene mellom denne linjen og grafen med kommandoen «Skjæring mellom to objekt». Punktene E og F viser at arealet er lik 4 kvadratmeter når grunnlinjen er lik 0,76 meter eller 5,24 meter.

Skjæringspunkt i GeoGebra CAS. Bilde.

Ved regning løser vi likningen

Vi skriver x=2 og får linjen b. Skjæringspunktet G mellom denne linjen og grafen viser at arealet er lik 8 kvadratmeter når grunnlinjen er lik 2 meter. Vi kan også skrive inn (2, A(2)) 

Funksjonsverdi i CAS i GeoGebra. Bilde.

Ved regning får vi

Eksempel 2

Per målte temperaturen hver 4. time gjennom et helt døgn. Han startet kl. 14.00 den ene dagen og avsluttet kl. 14.00 den neste dagen.

Per brukte regresjon på de observerte dataene og fant en modell for temperaturutviklingen det døgnet han målte temperaturen. Han fant modellen

Tx=0,0234x2-0,69x+2,6

hvor x er temperaturen timer etter kl. 14.00. Modellen gjelder for x-verdier mellom null og 24 timer.

Funksjonsdrøfting i GeoGebra.Bilde.

T(x) er også en andregradsfunksjon. Men T(x) har ikke toppunkt. Den har derimot et bunnpunkt, et punkt som viser den laveste temperaturen gjennom døgnet.

Det er fortegnet til andregradsleddet som avgjør om en andregradsfunksjon har toppunkt eller bunnpunkt.

Både toppunkt og bunnpunkt fås ved kommandoen «Ekstremalpunkt[<Polynom>]».

Nullpunktene E og F finnes som vist i forrige eksempel og viser at temperaturen etter modellen var lik null grader Celsius kl. 18.45 og kl. 08.15 neste dag.

Funksjonsdrøfting i GeoGebra. Bilde.

På samme måte som i forrige eksempel finner vi grafisk at temperaturen 20 timer etter kl. 14.00, altså kl. 10.00 dagen etter, var 0,8 grader og at temperaturen var 2 grader ca. kl. 15 den første dagen og ca. kl. 12 neste dag.

Ved regning får vi ikke alltid begge løsninger i GeoGebra når vi har definert funksjonen i et avgrenset intervall, som linje 2 i CAS-bildet viser. En mulighet er å gjøre som vist i linje 3 i CAS-bildet, der vi skriver hele funksjonsuttrykket inn i stedet for "T(x)". Alternativt kan vi definere en annen funksjon, som vi for eksempel kaller "T2(x)", som er helt lik T(x), men som ikke har noen begrensning i definisjonsmengde. Da bruker vi den når vi regner med CAS.  

Generell form for andregradsfunksjoner

I andregradsfunksjoner opptrer x i andre potens. Det vil si at vi har ledd som inneholder x2. Alle slike funksjoner kan skrives på formen

fx=a·x2+b·x+c

hvor a, b og c er konstante tall.
I tillegg til andregradsleddet har vi vanligvis et førstegradsledd, et ledd med x i første potens, og et konstantledd.

Grafen til en andregradsfunksjon kalles en parabel og har enten et toppunkt eller et bunnpunkt. Hvis leddet med  x2 er negativt, har grafen toppunkt. Hvis leddet med x2 er positivt, har grafen et bunnpunkt.

Generelle andregradsfunksjoner graf. Bilde.

Eksempel 3

En bedrift produserer x enheter av en vare per dag. Funksjonen K gitt ved

Kx=0,25x2+500

viser kostnadene (kroner) ved produksjon av x enheter.

Bedriften kan maksimalt produsere 200 enheter per dag. De produserte enhetene selges for 45 kroner per stk. Inntektene er da gitt ved

Ix=45x.

Overskuddet er differensen mellom inntekter og kostnader, og overskuddsfunksjonen O er derfor gitt ved

Ox=Ix-Kx.

Figuren viser grafene til K, I og O.

Kostnadsfunksjon tegnet som graf. Bilde.

Skjæringspunktene A(12, 535) og B(168, 7 565) mellom grafene til K og I viser at kostnadene er like store som inntektene ved produksjon av 12 enheter og ved produksjon av 168 enheter. Overskuddet er da lik null, og grafen til O har nullpunkter, C og D, for x=12 og for x=168.

Ved produksjon av mindre enn 12 enheter eller flere enn 168 enheter er kostnadene større enn inntektene, og overskuddet er negativt. Bedriften taper penger.

Ved produksjon mellom 12 enheter og 168 enheter er kostnadene mindre enn inntektene, og bedriften går med overskudd.

Grafen til O har toppunkt E(90, 1 525). Bedriften oppnår maksimalt overskuddet ved å produsere 90 enheter per dag. Overskuddet per dag er da 1 525 kroner.

Læringsressurser

SubjectEmne

Læringssti

SubjectEmne

Fagstoff

SubjectEmne

Oppgaver og aktiviteter