1. Home
  2. Praktisk matematikkChevronRight
  3. ModelleringChevronRight
  4. Lineære modeller og lineær regresjonChevronRight
TasksAndActivitiesOppgaver og aktiviteter

Oppgave

Lineære modeller og lineær regresjon

1.1

Tabellen viser folkemengden i Mandal i 1990 og i 2006.

Årstall19902006
Folkemengde12 46514 069

Vi antar at folkemengden i Mandal har steget tilnærmet lineært.

  1. Finn en lineær modell som beskriver utviklingen av folkemengden i Mandal. La x være antall år etter 1990 og F(x) folkemengden.
    vis fasit

    Et lineært uttrykk for folkemengden i Mandal er gitt på formen F(x)=ax+b.

    Økning i folkemengde fra 1990 til 2006: 14069-12465=1604.

    Finner stigningstallet a: 160416=100,25100.

    Vi skulle la x være antall år fra 1990.

    Konstantleddet blir dermed 12 465.

    Da er F(x)=100x+12465.

  2. Hva blir folkemengden i Mandal etter denne modellen i år 2050?
    vis fasit

    Da vi laget modellen, satte vi x=0 i år 1990.

    I år 2050 er da x lik 60 og vi får F(60)=100·60+12465=18465.

    Folkemengden i Mandal i år 2050 vil være 18 465 etter denne modellen.

    Ved CAS i GeoGebra kan du definere funksjonen ved å bruke «kolon-lik» som vist i linje 1. Deretter kan du regne som i linje 2 og løse likninger som i linje 3 nedenfor.

    F av x er lik 100 x pluss 12465. CAS.
  3. Når vil folkemengden i Mandal passere 20 000 etter denne modellen?
    vis fasit

    100x+12465=20000100x=20000-12465x=7535100x=75,3575

    Folkemengden vil etter denne modellen passere 20 000 75 år etter 1990, altså i år 2065. Ved CAS er det enklere å løse likningen.

    F av x er lik 20000

1.2

I denne tabellen har vi folkemengden i Mandal for fem utvalgte år i perioden 1990 til 2006.

Årstall 1990 1995 1998 2002 2006
Folkemengde
12 465
12 910
13 181
13 417
14 069
  1. Plott punktene i tabellen i et koordinatsystem, og bruk regresjon i et digitalt hjelpemiddel til å finne en lineær modell for folkemengden i Mandal. La x være antall år fra 1990 og F(x) folkemengden.
    vis fasit

    Jeg legger punktene inn i regneark i GeoGebra, lager «liste med punkt», velger «Regresjonsanalyse», «Analyser» og «Lineær» som regresjonsmodell.

    Jeg finner at funksjonen F kan beskrives med uttrykket F(x)=95,3x+12427.

    Jeg skriver inn funksjonen i skrivelinjen.

    Graf som viser folketall. Graf.
  2. Sammenlikn uttrykket du fikk i denne oppgaven med det du fikk i forrige oppgave. Hvorfor er de to uttrykkene ikke like?
    vis fasit

    Vi ser at punktene ikke ligger på en helt rett linje. Når vi bruker lineær regresjon, så finner vi den rette linja som totalt sett har minst avvik fra punktene. Den rette linja vi fant i forrige oppgave gikk gjennom de to punktene vi fikk oppgitt.

  3. Når vil folkemengden i Mandal passere 20 000 etter denne modellen?
    vis fasit
    F av x er lik 20000

    Jeg løser likningen i CAS.

    Folkemengden vil etter denne modellen passere 20 000 ca. 80 år etter 1990, altså i år 2070.

  4. Sammenlikn resultatet du fikk i c) med tilsvarende resultat fra forrige oppgave.
    vis fasit

    Med modellen i denne oppgaven vil det ta ca. 80 år før folkemengden i Mandal passerer 20 000. I forrige oppgave viste modellen at det ville ta ca. 75 år. Forskjellen skyldes at modellen i denne oppgaven har et noe lavere stigningstall. Det vil dermed ta noe lengre tid før folketallet passerer 20 000 personer.

1.3

Tabellen under viser utslipp av svoveldioksid til luft i Norge i 1973 og i 2000.

Årstall19732000
SO2 i 1000 tonn156,427,3

Vi antar at nedgangen av utslippene av SO2 har vært tilnærmet lineær i perioden fra 1973 til 2000.

  1. Finn en lineær modell som beskriver utviklingen av utslippene av svoveldioksid, SO2. La x være antall år fra 1973 og S(x) utslippene av svoveldioksid i tusen tonn.
    vis fasit

    Et lineært uttrykk for utslipp av SO2 er gitt på formen S(x)=ax+b.

    Siden x er antall år fra 1973, er konstantleddet 156,4.

    S av x er lik minus 4 komma 8 x pluss 156 komma 4

    S(x)=-4,8x+156,4

    De virkelige utslippene av SO2 var 73,1 tusen tonn i 1987 og 33,1 tusen tonn i 1996.

  2. Bruk modellen du fant i a og vurder hvor godt modellen treffer.
    vis fasit

    År 1987 er 14 år etter 1973.

    År 1996 er 23 år etter 1973.

    S av 14 er lik 89 komma 5 og S av 23 er lik 46 komma 4. CAS.

    Modellen vår treffer bare sånn noenlunde. Det ser ut som utslippene av SO2 har sunket noe raskere enn modellen vår viser.

  3. Hva vil utslippet være i år 2010 dersom vi følger denne modellen? Kommenter svaret.
    vis fasit

    År 2010 er 37 år etter 1973.

    S av 37 er lik minus 20 komma 5.CAS.

    Utslippene kan ikke være negativ. Modellen vår kan ikke brukes til å anslå utslippene framover.

1.4

I denne tabellen har vi utslipp av svoveldioksid til luft i Norge for seks utvalgte år fra 1973 til 2000.

Årstall 1973
1980
1987
1992
1996
2000
SO2 i 1000 tonn
156,4 136,4 73,1 37,0 33,1 27,3
  1. Plott punktene i tabellen i et koordinatsystem, og bruk regresjon i et digitalt hjelpemiddel til å finne en lineær sammenheng mellom årstallene og utslippene av svoveldioksid, SO2. La x være antall år fra 1973 og S(x) utslippene av svoveldioksid i tusen tonn.
    vis fasit

    Jeg legger punktene inn i regneark i GeoGebra, lager «liste med punkt», velger «Regresjonsanalyse», «Analyser» og «Lineær» som regresjonsmodell.

    Jeg finner at funksjonen kan beskrives med uttrykket S(x)=-5,4x+158.

    Jeg skriver inn funksjonen i skrivelinjen.

    Graf som viser utslipp av svoveldioksid. Graf.
  2. Sammenlikn modellen du fikk i denne oppgaven med den modellen du fikk i forrige oppgave. Kommenter eventuelle forskjeller.
    vis fasit

    Modellen i denne oppgaven viser at utslippet av SO2 vil avta noe raskere enn modellen i forrige oppgave. Reduksjonen av SO2 vil bli redusert med 5,4 tusen tonn per år etter modellen i denne oppgaven. Modellen i forrige oppgave viser at reduksjonen vil være på 4,8 tusen tonn per år.

  3. Hva vil utslippene være i år 2010 dersom vi følger denne modellen? Kommenter svaret.
    vis fasit

    Utslipp i år 2010: S(37)=-5,4·37+158=-41,8 tusen tonn.

    Utslippene kan ikke være negative. Modellen over kan ikke brukes til å anslå utslippene framover. Når vi ser på punktene og grafen ovenfor, så ser vi at modellen passer bra fram til 1996. Etter 1996 flater utslippet ut og en lineær modell passer dårlig.

1.5

Årstall 1998
2000
2002
2004
2006
2008
Prisindeks for frukt, F
100 105 103 106 110 107
Prisindeks for tobakk, T
100 118 124 154 162 175
Prisindeks for sko etc. S
100 104 99 88 83 84

Tabellen viser utviklingen i prisindeksen på frukt, tobakk og sko.

  1. Plott punktene i tabellen i et koordinatsystem, og bruk regresjon i et digitalt hjelpemiddel til å finne en lineær sammenheng som viser prisutviklingen for hver av varene i tabellen ovenfor. La x være antall år fra 1998, F(x) prisutviklingen på frukt, T(x) prisutviklingen for tobakk og S(x) prisutviklingen for sko og annet fottøy.
    vis fasit

    Frukt: Bruker lineær regresjon i GeoGebra og finner at funksjonen kan beskrives med uttrykket F(x)=0,8x+101.

    Tobakk: Bruker lineær regresjon i GeoGebra og finner at funksjonen kan beskrives med uttrykket T(x)=7,7x+100.

    Sko og annet fottøy: Bruker lineær regresjon i GeoGebra og finner at funksjonen kan beskrives med uttrykket S(x)=-2,2x+104.

    Graf som viser prisindeks Graf.
  2. Bruk modellene du fant i a), og finn prisindeksen på frukt, tobakk og sko og annet fottøy i 2005.
    vis fasit

    Prisindeks i 2005 for frukt er 0,8·8+101=107,4

    Prisindeks i 2005 for tobakk er 7,7·8+100=161,6

    Prisindeks i 2005 for sko og annet er -2,2·8+104=86,4

  3. Hvordan synes du modellene dine stemmer med punktene?
    vis fasit

    Modellene stemmer ganske bra med de observerte verdiene.

1.6

Tabellen viser prisutviklingen for varegruppen klær i perioden 1997 til 2004.

År 1997
1998
1999
2000
2001
2003
2005
2008
Prisindeks
102,5 100 99,0 93,5 93,2 77,1 68,1 58,5
  1. Bruk tabellen og et digitalt hjelpemiddel til å finne en lineær sammenheng mellom årstallene og prisutviklingen på klær.
    La x være antall år fra 1990 og P(x) prisutviklingen på klær.
    vis fasit

    Jeg bruker GeoGebra og finner den lineære modellen

    P(x)=-4,3x+136

  2. Hva var prisindeksen i 2007 og 1990 etter denne modellen?
    vis fasit

    Prisindeks i 2007 er P(17)=-4,3·17+135,9=62,8

    Prisindeks i 1990 er P(0)=-4,3·0+135,9=135,9

  3. Tabellen ovenfor er hentet fra Statistisk sentralbyrå (SSB). Ifølge SSB var prisindeksen for varegruppen klær i 2007 på 61,6 og i 1990 på 99,5. Hvordan stemmer denne indeksen med indeksen du fikk ved å bruke modellen?
    vis fasit

    Modellen bygger på de observerte verdiene i perioden 1997 til 2008. I 2007 gir modellen en prisindeks på 62,8, mens den i virkeligheten var 61,6. Vi kan dermed si at modellen treffer meget bra når det gjelder 2007.

    I perioden fra 1997 til 2008 falt prisen på klær. Modellen vår vil dermed vise at prisen på klær falt fra 1990 og framover. Prisindeksen på 133,3 vil være den høyeste i hele perioden 1990 – 2008.

    Når den virkelige prisindeksen i 1990 var på 99,5, betyr det at vår modell treffer dårlig. Prisutviklingen på klær følger ikke vår modell i perioden 1990 til 1997. Fra 1990 fram til 1997 har det faktisk vært en økning i prisindeksen.

Læringsressurser

Modellering

SubjectEmne

Læringssti

SubjectEmne

Fagstoff

SubjectEmne

Oppgaver og aktiviteter