Hopp til innhold

  1. Home
  2. Praktisk matematikkChevronRight
  3. StatistikkChevronRight
TasksAndActivitiesOppgaver og aktiviteter

Oppgave

Gruppert datamateriale

I oppgavene nedenfor kan du bruke digitale hjelpemidler.

5.1

Ved en skole ble høyden til alle elevene på VG2 målt. Resultatet er presentert i tabellen.

Høyde til elevene
Høyde i cm
Frekvens
[150, 160⟩ 6
[160, 165⟩ 21
[165, 170⟩ 60
[170, 175⟩ 73
[175, 180⟩ 64
[180, 185⟩ 67
[185, 190⟩ 24
[190, 200⟩ 8
Sum 323

Du skal tegne et histogram som viser resultatene.

  1. Finn søylehøyden (histogramhøyden) i hvert intervall.

    vis fasit

    Husk at histogramhøyde er frekvens delt på klassebredde. Når vi bruker GeoGebra, trenger vi også en liste med klassegrensene, og disse tallene er fine å bruke til å regne ut klassebreddene.

    A B C D E
    1 Høyde i cm Frekvens Klassegrenser Klassebredde Histogramhøyde
    2 [150, 160⟩ 6 150 10 0,6
    3 [160, 165⟩ 21 160 5 4,2
    4 [165, 170⟩ 60 165 5 12
    5 [170, 175⟩ 73 170 5 14,6
    6 [175, 180⟩ 64 175 5 12,8
    7 [180, 185⟩ 67 180 5 13,4
    8 [185, 190⟩ 24 185 5 4,8
    9 [190, 200⟩ 8 190 10 0,8
    10 200
    11 Sum 323
    A B C D E
    1 Høyde i cm Frekvens Klassegrenser Klassebredde Histogramhøyde
    2 [150, 160⟩ 6 150 =C3-C2 =B2/D2
    3 [160, 165⟩ 21 160 =C4-C3 =B3/D3
    4 [165, 170⟩ 60 165 =C5-C4 =B4/D4
    5 [170, 175⟩ 73 170 =C6-C5 =B5/D5
    6 [175, 180⟩ 64 175 =C7-C6 =B6/D6
    7 [180, 185⟩ 67 180 =C8-C7 =B7/D7
    8 [185, 190⟩ 24 185 =C9-C8 =B8/D8
    9 [190, 200⟩ 8 190 =C10-C9 =B9/D9
    10 200
    11 Sum =SUM(B2:B9)
  2. Presenter resultatet i et histogram.
    vis fasit

    I GeoGebra lager vi lister av kolonnen med klassegrenser og kolonnen med histogramhøydene. Så bruker vi kommandoen "Histogram(Liste med klassegrenser, Liste med høyder)".

    Histogram som viser høyden til elevene på en skole. Illustrasjon

5.2

Tabellen viser aldersfordelingen i Norge i 2009.

Alder Antall personer
i tusen
[0, 25⟩ 1 536
[25, 35⟩ 622
[35, 45⟩ 722
[45, 70⟩ 1 422
[70, 80⟩ 287
[80, 112⟩
220
  1. Hvor mange personer bodde det i Norge i 2009?
    vis fasit

    Antall personer i tusen: 1536+622+722+1422+287+220=4809. Det bodde ca 4,8 millioner i Norge i 2009.

  2. Presenter aldersfordelingen i Norge i et histogram.
    vis fasit

    Minner om at histogramhøyde er frekvens delt på klassebredde. Vi legger tallene inn i regnearkdelen på GeoGebra.

    A B C D E
    1 Alder Antall personer i tusen Klassegrenser Klassebredde Histogramhøyde
    2 [0, 25⟩ 1536 0 25 61,44
    3 [25, 35⟩ 622 25 10 62,2
    4 [35, 45⟩ 722 35 10 72,2
    5 [45, 70⟩ 1422 45 25 56,88
    6 [70, 80⟩ 287 70 10 28,7
    7 [80, 112⟩ 220 80 32 6,875
    10 112
    11 Sum 4809
    A B C D E
    1 Alder Antall personer i tusen Klassegrenser Klassebredde Histogramhøyde
    2 [0, 25⟩ 1536 0 =C3-C2 =B2/D2
    3 [25, 35⟩ 622 25 =C4-C3 =B3/D3
    4 [35, 45⟩ 722 35 =C5-C4 =B4/D4
    5 [45, 70⟩ 1422 45 =C6-C5 =B5/D5
    6 [70, 80⟩ 287 70 =C7-C6 =B6/D6
    7 [80, 112⟩ 220 80 =C8-C7 =B7/D7
    10 112
    11 Sum =SUM(B2:B7)
    I GeoGebra lager vi lister av kolonnen med klassegrenser og kolonnen med histogramhøydene. Så bruker vi kommandoen "Histogram(Liste med klassegrenser, Liste med høyder)".
    Aldersfordelingen i Norge presentert i et histogram

5.3

Statens Veivesen var interessert i å finne ut hvilken fart bilistene holdt på en ny veistrekning. Høyeste tillatte fart på strekningen var 100 km/t. Hastigheten ble målt på 20 biler. Målingen viste følgende resultater. Farten er gitt i km/h.

Målt hastighet på 20 biler
95.5 103.8 101.2 92.0 89.8 101.5 110.0
120.2 104.1 99.2 119.9 103.8 105.0 131.7
95.2 108.4 113.4 114.9 106.3 102.7
  1. Lag en frekvenstabell der du grupperer resultatene i følgende grupper:
    80, 100, 100, 105], 105, 110], 110, 120], 120, 135]
    vis fasit

    Vi legger tallene i regnearkdelen i GeoGebra.

    A B C D E F
    1 Fart i km/h Telle-
    kolonne
    Frekvens Klasse-
    grenser
    Klasse-
    bredde
    Histogram-
    høyde
    2 [80, 100⟩ ||||
    5 80 20 0,25
    3 [100, 105⟩ |||| ||
    7 100 5 1,4
    4 [105, 110⟩ ||| 3 105 5 0,6
    5 [110, 120⟩ ||| 3 110 10 0,3
    6 [120, 135⟩ || 2 120 15 0,1333333333
    7 135
    8 Sum 20
    A B C D E F
    1 Fart i km/h Telle-
    kolonne
    Frekvens Klasse-
    grenser
    Klasse-
    bredde
    Histogram-
    høyde
    2 [80, 100⟩ ||||
    5 80 =D3-D2 =C2/E2
    3 [100, 105⟩ |||| ||
    7 100 =D4-D3 =C3/E3
    4 [105, 110⟩ ||| 3 105 =D5-D4 =C4/E4
    5 [110, 120⟩ ||| 3 110 =D6-D5 =C5/E5
    6 [120, 135⟩ || 2 120 =D7-D6 =C6/E6
    7 135
    8 Sum =SUM(C2:C6)
  2. Presenter resultatene i tabellen i et egnet diagram.
    vis fasit
    Histogram som viser farten til 20 biler. Illustrasjon.

    Vi velger å presentere resultatene i et histogram. Vi lager lister av kolonnen med klassegrenser og kolonnen med histogramhøyder fra oppgaven over.

  3. Finn medianen ved å bruke enkeltmålingene av farten.
    vis fasit

    Setter opp resultatene i stigende rekkefølge.

    Målt hastighet på 20 biler, sortert
    89,8 92,0 95,2 95,5 99,2 101,2 101,5
    102,7 103,8 103,8 104,1 105,0 106,3 108,4
    110,0 113,4 114,9 119,9 120,2 131,7

    Medianen blir gjennomsnittet av tiende og ellevte måling, som er uthevet i tabellen over.

    Medianen er 103,8 km/t+104,1 km/h2=103,95 km/h104,0 km/h.

  4. Finn medianen ved å bruke det klassedelte materialet.
    vis fasit
    A B C
    1 Fart i km/h Frekvens Kumulativ frekvens
    2 [80, 100⟩ 5 5
    3 [100, 105⟩ 7 12
    4 [105, 110⟩ 3 15
    5 [110, 120⟩ 3 18
    6 [120, 135⟩ 2 20
    7
    8 Sum 20


    A B C
    1 Fart i km/h Frekvens Kumulativ frekvens
    2 [80, 100⟩ 5 =B2
    3 [100, 105⟩ 7 =C2+B3
    4 [105, 110⟩ 3 =C3+B4
    5 [110, 120⟩ 3 =C4+B5
    6 [120, 135⟩ 2 =C5+B6
    7
    8 Sum =SUM(B2:B6)

    Medianen er den midterste observasjonsverdien når alle observasjonsverdiene er sortert i stigende rekkefølge. I denne oppgaven har vi 20 fartsmålinger. Medianen er gjennomsnittet av farten til bilist nummer 10 og bilist nummer 11. Legger til en kolonne med kumulativ frekvens i tabellen. Ser da at både nr 10 og nr 11 må ligge i intervallet 100, 105]. Bilist nr 10,5 ligger 10,5-5=5,5 plasser fra venstre klassegrense.

    Medianen blir: 100+57·5,5km/h103,9 km/h
  5. Forklar hvorfor medianverdiene i de to forrige oppgavene er ulike.
    vis fasit

    I den første oppgaven bruker vi enkeltmålingene til å finne medianen. I den andre oppgaven finner vi først i hvilken gruppe medianen ligger. Vi beregner så hvor i gruppen medianen omtrent må ligge. Ved denne beregningen forutsetter vi at målingene i gruppen fordeler seg jevnt. Dette blir ikke helt nøyaktig, og svarene vil i de fleste tilfeller være ulike.

5.4

  1. Bruk de enkelte fartsmålingene i forrige oppgave og finn gjennomsnittsfarten.
    vis fasit

    Summerer alle fartsobservasjonene og deler på antall observasjoner.

    Gjennomsnittsfart =2118,6 km/h29105,9 km/h
  2. Finn gjennomsnittsfarten i det klassedelte materialet i forrige oppgave.
    vis fasit

    Vi lager kolonner for klassegrenser, klassemidtpunkt og klassemidtpunkt multiplisert med frekvens i regnearket fra forrige oppgave.

    A B C D E
    1 Fart i km/h Frekvens, f
    Klasse-
    grenser
    Klasse-
    midtpunkt, x
    x·f
    2 [80, 100⟩ 5 80 90 450
    3 [100, 105⟩ 7 100 102,5 717,5
    4 [105, 110⟩ 3 105 107,5 322,5
    5 [110, 120⟩ 3 110 115 345
    6 [120, 135⟩ 2 120 127,5 255
    7 135
    8 Sum 20 2090
    9 Gjennomsnittsfart 104,5
    A B C D E
    1 Fart i km/h Frekvens, f
    Klasse-
    grenser
    Klasse-
    midtpunkt, x
    x·f
    2 [80, 100⟩ 5 80 =C2+(C3-C2)/2 =B2*D2
    3 [100, 105⟩ 7 100 =C3+(C4-C3)/2 =B3*D3
    4 [105, 110⟩ 3 105 =C4+(C5-C4)/2 =B4*D4
    5 [110, 120⟩ 3 110 =C5+(C6-C5)/2 =B5*D5
    6 [120, 135⟩ 2 120 =C6+(C7-C6)/2 =B6*D6
    7 135
    8 Sum =SUM(B2:B6) =SUM(E2:E6)
    9 Gjennomsnittsfart =E8/B8

    Gjennomsnittsfarten er 104,5 km/t.

  3. Forklar hvorfor svarene i de to forrige deloppgavene er ulike.
    vis fasit

    I den første oppgaven finner vi den nøyaktige gjennomsnittsfarten av de 20 målingene. I den andre oppgaven bruker vi klassemidtpunktet og beregner gjennomsnittsfarten ut fra dette. Vi antar dermed at målingene i hver klasse fordeler seg jevnt, noe som gir en viss unøyaktighet.

5.5

Alder Antall personer
i tusen
[0, 25⟩ 1 536
[25, 35⟩ 622
[35, 45⟩ 722
[45, 70⟩ 1 422
[70, 80⟩ 287
[80, 112⟩
220


Tabellen viser aldersfordelingen i Norge i 2009.

  1. Finn medianen.
    vis fasit

    Vi legger til en kolonne med kumulativ frekvens i tabellen.

    A B C
    1 Alder Antall personer i tusen (frekvens) Kumulativ frekvens
    2 [0, 25⟩ 1536 1536
    3 [25, 35⟩ 622 2158
    4 [35, 45⟩ 722 2880
    5 [45, 70⟩ 1422 4302
    6 [70, 80⟩ 287 4589
    7 [80, 112⟩ 220 4809
    8
    Sum 4809
    A B C
    1 Alder Antall personer i tusen (frekvens) Kumulativ frekvens
    2 [0, 25⟩ 1536 =B2
    3 [25, 35⟩ 622 =C2+B3
    4 [35, 45⟩ 722 =C3+B4
    5 [45, 70⟩ 1422 =C4+B5
    6 [70, 80⟩ 287 =C5+B6
    7 [80, 112⟩ 220 =C6+B7
    8
    Sum =SUM(B2:B7)

    Medianplass: 4809+12=2405

    Ser at medianen må ligge i intervallet [35, 45.

    Tall nummer 2405 ligger 2405-2158=247 plasser fra venstre klassegrense.

    Medianen blir: 35+247722·10 år38,4 år

  2. Finn gjennomsnittsalderen.
    vis fasit

    Vi lager kolonner for klassegrenser, klassemidtpunkt og klassemidtpunkt multiplisert med frekvens i regnearket fra forrige deloppgave.

    A B C D E
    1 Alder Antall personer i tusen (frekvens), f
    Klasse-
    grenser
    Klasse-
    midtpunkt, x
    x·f
    2 [0, 25⟩ 1536 0 12,5 19200
    3 [25, 35⟩ 622 25 30 18660
    4 [35, 45⟩ 722 35 40 28880
    5 [45, 70⟩ 1422 45 57,5 81765
    6 [70, 80⟩ 287 70 75 21525
    7 [80, 112⟩ 220 80 96 21120
    8 112
    9 Sum 4809 191150
    10 Gjennomsnittsalder 39,74838844
    A B C D E
    1 Alder Antall personeri tusen (frekvens), f
    Klasse-
    grenser
    Klasse-
    midtpunkt, x
    x·f
    2 [0, 25⟩ 1536 0 =C2+(C3-C2)/2 =D2*B2
    3 [25, 35⟩ 622 25 =C3+(C4-C3)/2 =D3*B3
    4 [35, 45⟩ 722 35 =C4+(C5-C4)/2 =D4*B4
    5 [45, 70⟩ 1422 45 =C5+(C6-C5)/2 =D5*B5
    6 [70, 80⟩ 287 70 =C6+(C7-C6)/2 =D6*B6
    7 [80, 112⟩ 220 80 =C7+(C8-C7)/2 =D7*B7
    8 112
    9 Sum =SUM(B2:B7) =SUM(E2:E7)
    10 Gjennomsnittsalder =E9/B9

    Gjennomsnittsalderen er 39,7 år.


  3. I følge Statistisk sentralbyrå er gjennomsnittsalder i den norske befolkningen 39 år per 1. januar 2009. Gi en forklaring på at gjennomsnittsalderen du fant i forrige deloppgave er noe høyere.
    vis fasit

    I den forrige deloppgaven regner vi ut gjennomsnittsalder på grunnlag av klassemidtpunkt. I de øverste klassene vil nok klassemidtpunkt gi et galt bilde av den reelle situasjonen. Her vil midtpunktet i klassen ligge nærmere nedre klassegrense enn øvre - hvorfor?

Læringsressurser

Statistikk

SubjectEmne

Læringssti

SubjectEmne

Fagstoff

SubjectEmne

Oppgaver og aktiviteter