Funksjonen $f$ er gitt ved

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 1$

Denne funksjonen er også drøftet i eksempel 2 på siden Monotoniegenskaper og drøfting av polynomfunksjoner.

Vi deriverer funksjonen 2 ganger. Da får vi den andrederiverte eller den dobbeltderiverte $f^{''} (x)$ .
Legg merke til skrivemåten, nå med to apostrofer.

$\begin{array}{l} f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 1 \\ f^{'} (x) = x^{2} - x - 2 \\ f^{''} (x) = 2 x - 1 \end{array}$

Vi tegner fortegnslinja til $f^{''} (x)$ og grafen til selve funksjonen i samme koordinatsystem.

Krumningsforhold — Stein Aanensen, Olav Kristensen, Bjarne Skurdal, GeoGebra

Det viser seg at

en graf vender sin hule side opp når $f^{''} (x) > 0$
en graf vender sin hule side ned når $f^{''} (x) < 0$
en graf kan ha et vendepunkt når $f^{''} (x) = 0$

At grafen vender sin hule side opp, $f^{''} (x) > 0$ , betyr at den deriverte vokser. Det vil si at selve funksjonen vokser mer og mer eller avtar mindre og mindre.

At grafen vender sin hule side ned, $f^{''} (x) < 0$ , betyr at den deriverte avtar. Det vil si at selve funksjonen avtar mer og mer eller vokser mindre og mindre.

Et punkt på grafen hvor grafen skifter mellom å vende sin hule side ned og å vende sin hule side opp, eller motsatt, kalles for et vendepunkt. Tangenten til grafen i et slikt punkt kalles for en vendetangent.

Den deriverte har enten sin største verdi eller sin minste verdi i vendepunktet. Det vil si at funksjonen vokser raskest eller avtar raskest i vendepunktet.

Merk at et punkt ikke trenger være et vendepunkt selv om den dobbeltderiverte er null i punktet. Den dobbeltderiverte må også skifte fortegn! Derfor har funksjonen på bildet over et vendepunkt for $x = \frac{1}{2}$

Toppunkt eller bunnpunkt? Dobbeltderiverttesten!

Skjermbilde av å beregne dobbelderivert i CAS GeoGebra. Bilde. — Olav Kristensen, GeoGebra

Vi har brukt fortegnslinje til den deriverte for å avgjøre om et ekstremalpunkt er maksimalpunkt eller minimalpunkt.

Den dobbeltderiverte gir oss en ny metode for å avgjøre dette

Gitt funksjonen $f (x)$ definert i CAS-vinduet.

Siden $f^{'} (- 1) = 0 og f^{''} (- 1)$ er negativ, har grafen «hul side ned» og
$x = - 1$ er et maksimalpunkt.

Siden $f^{'} (2) = 0 og f^{''} (2)$ er positiv, har grafen «hul side opp» og
$x = 2$ er et minimalpunkt.

Grafen har toppunkt $(- 1, \frac{13}{6})$

Grafen har bunnpunkt $(2, - \frac{7}{3})$

Siden har flyttet, men du kan finne den her: