For å finne ut av dette trenger hun noen opplysninger

• hennes anbefalte proteininntak per dag
• proteininnhold i egg og melk
• anbefalt daglig maksinntak av melk og egg
• pris på egg og melk

Julie samler opplysningene hun finner på butikken i en tabell.

For å finne ut anbefalt maksinntak av melk og egg per dag, leser hun noen artikler på internett (se kilder nederst).

Anbefalt maksinntak

Hun ser at ekspertene er litt uenige fordi både egg og melk inneholder en del andre næringsstoffer som påvirker kroppen på ulike måter. Julie velger derfor å sette en maksimalverdi på maks 4 egg og maks 5 glass melk om dagen.

Proteinbehov

Hun ser også at proteinbehovet vil variere etter aktivitet og trening. Hun finner ut at en normalt aktiv jente vil ha et behov for 0,8 g proteiner per kg kroppsvekt. Hennes kroppsvekt er 65 kg.

$$65 \mathrm{kg}·0,8 \mathrm{g} \mathrm{proteiner}/\mathrm{kg}=52 \mathrm{g} \mathrm{proteiner}$$

Begrensninger

Julie setter opp begrensningene med matematisk språk, og kaller antall egg for $$x$$ og antall glass melk for $$y$$ .

$$\begin{gathered} 0\le x\le 4 \\ 0\le y\le 5 \\ 8x+6,8y\ge 52 \\ \mathrm{Pris}=4,50x+2,70y \end{gathered}$$

Forklaring på sammenhengene

$$x$$ bør være mindre eller lik 4, fordi 4 egg skulle være maksimalt antall av egg per dag. Variabelen kan heller ikke være negativ.

På same måte bør $$y$$ være mindre eller lik 5, fordi 5 glass melk skulle være maksimalt daglig inntak av melk. Heller ikke denne variabelen kan være negativ.

Et egg inneholder 8 gram protein og et glass melk inneholder 6,8 gram protein. Vi ganger derfor antallet egg med 8 og antallet melkeglass med 6,8. Dette bør til sammen bli mer eller lik det totale proteinbehovet på 52 gram.

Den totale prisen for $$x$$ egg og $$y$$ glass melk ut i fra pris per stk er gitt i den siste likningen over.

Finne optimal løsning

For å finne det optimale antallet egg og melkeglass, setter Julie inn linjene $$x=4 \mathrm{og} y=5$$ i et koordinatsystem.

Deretter snur hun på ulikheten for proteinbehovet og får

$$8x+6,8y\ge 52 \iff y\ge 7,65-1,18x$$.

Hun tegner den som en rett linje i samme koordinatsystemet. Det skraverte området er kombinasjonen av egg og melk som gjør alle ulikhetene riktige.

Finne lavest mulig pris

Julie finner ut at hun vil ligge innenfor anbefalt maksgrense for egg og melk i hele det skraverte området. For å finne punktet hvor samlet pris på egg og melk er lavest, tegner Julie inn en nivålinje for prisen. Hun velger å starte med at prisen skal være lik null, som gir likningen $$4,5x+2,70y=0$$, for så å forskyve denne opp mot arealet som er skravert ved gradvis å øke prisen. Se figuren nedenfor.

Konklusjon

Julie finner ut at når nivålinjen for prisen treffer punktet $$E$$ i det optimale arealet, får hun den samlede laveste prisen samtidig som hun får i seg daglig behov for proteiner. Vi regner ut samlet pris ved å sette $$x=2,25 \mathrm{og} y=5$$ .

$$4,5x+2,7y=4,5·2,25+2,7·5=23,60$$

Det vil si at 2,25 egg og 5 glass melk om dagen dekker hennes daglig proteinbehov på 52 gram med den laveste mulige prisen på 23,60 kr.

Oppgave

Gjør samme optimering basert på de verdiene som passer for deg. Kan du få nok proteiner bare ved å spise egg og drikke melk? Det vil kanskje være nødvendig å øke maksgrensen for melk for å få nok proteiner.

Kommentar

For å se på en praktisk optimeringsmodell i dette faget, er det nødvendig å gjøre noen begrensninger. I virkeligheten er kosthold og ernæring et stort og sammensatt tema. Vi velger derfor å begrense oss til to matvarer og bare ett næringsstoff. Diskusjonene om maksgrense av ulike matvarer er også store.

Kilder

Helsedirektoratets anbefalinger for kosthold og ernæring

Norsk helseinformatikk

melk.no

Blogg x-life

Joker Vestnes Mandal