Hopp til innhold
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Hvordan regne ut verdier for den deriverte ved å bruke definisjonen?

Vanligvis bruker vi derivasjonsregler når vi skal finne den deriverte til en funksjon. Men du skal også kunne regne deg fram til den deriverte ved å bruke definisjonen på den deriverte funksjonen.

FooterHeaderIconFooter iconLK06

Vi vil nå regne oss fram til den deriverte til funksjonen f gitt ved

fx=x2+2x+3  når  x=0,5.

Grafen til en vilkårlig funksjon f av x med de to inntegnede punktene A som har koordinatene x og f av x og B som har koordinatene x pluss delta x og f av x pluss delta x. Linja gjennom A og B er tegna i tillegg til tangenten til grafen til funksjonen f i punktet A. Illustrasjon.

Definisjonen av den deriverte sier at f'x er den verdien som  ΔyΔx=fx+Δx-fxΔx  nærmer seg mot når Δx går mot null. Se figuren.

f'x = limΔx0ΔyΔx=limΔx0fx+Δx-fxΔx

Hvordan finner vi så  fx+Δx?

fx+Δx  er det uttrykket du får når du bytter ut x med  x+Δx  i funksjonsuttrykket.

Det gir

f'(x) = limx0yx=limx0f(x+x)-f(x)x=limx0(x+x)2+2(x+x)+3-(x2+2x+3)x=limx0x2+2·x·x+(x)2+2x+2·x+3-x2-2x-3x=limx02·x·x+(x)2+2·xx=limx0x(2·x+x+2)x=limx0x(2·x+x+2)x=limx0(2x+x+2)=2x+2

Dette betyr at når  fx=x2+2x+3, så er  f'x=2x+2.

Vi kan da finne  f'0,5=2·0,5+2=3. Dette er det samme som vi finner grafisk på siden Hvordan finne den deriverte grafisk?.

Sist oppdatert 12.09.2019
Tekst: Stein Aanensen og Olav Kristensen (CC BY-NC-SA)

Læringsressurser

Derivasjon