Hopp til innhold
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Hvordan regne ut verdier for den deriverte ved å bruke definisjonen?

Vanligvis bruker vi derivasjonsregler når vi skal finne den deriverte til en funksjon. Men du skal også kunne regne deg fram til den deriverte ved å bruke definisjonen på den deriverte funksjonen.

Vi vil nå regne oss fram til den deriverte til funksjonen f gitt ved

fx=x2+2x+3  når  x=0,5.

Grafen til en vilkårlig funksjon f av x med de to inntegnede punktene A som har koordinatene x og f av x og B som har koordinatene x pluss delta x og f av x pluss delta x. Linja gjennom A og B er tegna i tillegg til tangenten til grafen til funksjonen f i punktet A. Illustrasjon.

Definisjonen av den deriverte sier at f'x er den verdien som  ΔyΔx=fx+Δx-fxΔx  nærmer seg mot når Δx går mot null. Se figuren.

f'x = limΔx0ΔyΔx=limΔx0fx+Δx-fxΔx

Hvordan finner vi så  fx+Δx?

fx+Δx  er det uttrykket du får når du bytter ut x med  x+Δx  i funksjonsuttrykket.

Det gir

f'(x) = limx0yx=limx0f(x+x)-f(x)x=limx0(x+x)2+2(x+x)+3-(x2+2x+3)x=limx0x2+2·x·x+(x)2+2x+2·x+3-x2-2x-3x=limx02·x·x+(x)2+2·xx=limx0x(2·x+x+2)x=limx0x(2·x+x+2)x=limx0(2x+x+2)=2x+2

Dette betyr at når  fx=x2+2x+3, så er  f'x=2x+2.

Vi kan da finne  f'0,5=2·0,5+2=3. Dette er det samme som vi finner grafisk på siden Hvordan finne den deriverte grafisk?.

Sist oppdatert 12.09.2019
Skrevet av Stein Aanensen og Olav Kristensen

Læringsressurser

Derivasjon

Fagstoff

Oppgaver og aktiviteter