Fagartikkel

Forventningsverdi og standardavvik i en binomisk fordeling

Vi skal komme fram til formler for forventningsverdi og standardavvik i en binomisk fordeling. Formlene gjelder for en stokastisk variabel som teller antall "suksesser" når vi trekker mange ganger.

Multiple choice test — Scanpix, Shutterstock

En binomisk forsøksrekke består av $n$ delforsøk med samme sannsynlighet for «suksess». Vi ser på en matematikkprøve med fire deloppgaver, hver med fire svaralternativer.

Vi lar den stokastiske variabelen $Y$ være antall riktige svar på én oppgave. $Y$ kan da ha verdien 0 eller 1. 0 svarer til at svaret er feil («fiasko»), og 1 at svaret er riktig («suksess»).

$y$	1	0	Sum
$P (Y = y)$	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{4}$	$1$
$y \cdot P (Y = y)$	$1 \cdot \frac{1}{4}$	$0 \cdot \frac{3}{4}$	$\begin{array}{rcl} μ & = & E (Y) \\ = & 1 \cdot \frac{1}{4} + 0 \cdot \frac{3}{4} \\ = & \frac{1}{4} \end{array}$
$(Y - μ)^{2} \cdot P (Y = y)$	${(1 - \frac{1}{4})}^{2} \cdot \frac{1}{4}$	${(0 - \frac{1}{4})}^{2} \cdot \frac{3}{4}$	$\begin{array}{rcl} Var (Y) & = & {(\frac{3}{4})}^{2} \cdot \frac{1}{4} \\ + {(- \frac{1}{4})}^{2} \cdot \frac{3}{4} \\ = & \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} (\frac{3}{4} + \frac{1}{4}) \\ = & \frac{3}{16} \end{array}$

Den stokastiske variabelen som viser antall riktige svar når prøven består av 4 oppgaver, betegner vi som $S_{4}$ , summen av antall rette på 4 oppgaver.

$S_{4} = Y_{1} + Y_{2} + Y_{3} + Y_{4}$

Fra avsnittet Forventningsverdi og varians for summer av stokastiske variabler så vi at

$E (S_{4}) = 4 \cdot E (Y) = 4 \cdot \frac{1}{4} = 1 og Var (S_{4}) = 4 \cdot Var (Y) = 4 \cdot \frac{3}{16} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$

Generelt binomisk forsøk

Vi skal nå se helt generelt på et binomisk forsøk med $n$ delforsøk. Sannsynligheten for «suksess» er den samme i hvert delforsøk, og vi setter denne lik $p$ .

Tabellen nedenfor viser sannsynlighetsfordelingen med forventningsverdi og varians for hvert enkelt delforsøk.

$y$	1	0	Sum
$P (Y = y)$	$p$	$1 - p$
$y \cdot P (Y = y)$	$1 \cdot p$	$0 \cdot (1 - p)$	$\begin{array}{rcl} E (Y) & = & 1 \cdot p + 0 \cdot (1 - p) \\ = & p \end{array}$
$(Y - μ)^{2} \cdot P (Y = y)$	${(1 - p)}^{2} \cdot p$	${(0 - p)}^{2} \cdot (1 - p)$	$\begin{array}{rcl} Var (Y) & = & {(1 - p)}^{2} \cdot p \\ + {(0 - p)}^{2} \cdot (1 - p) \\ = & {(1 - p)}^{2} \cdot p \\ + p^{2} \cdot (1 - p) \\ = & p (1 - p) (1 - p + p) \\ = & p (1 - p) \end{array}$

Vi lar nå den stokastiske variabelen stå for antall «suksess» når vi har $n$ uavhengige delforsøk.

$S = Y_{1} + Y_{2} + . . . + Y_{n}$

Da er

$μ = E (S) = n \cdot E (Y) = n \cdot p og Var (S) = n \cdot Var (Y) = n \cdot p \cdot (1 - p)$

Forventningsverdi og standardavvik i en binomisk fordeling

La $X$ være antall «suksesser» i en binomisk forsøksrekke med $n$ uavhengige delforsøk, hvert med sannsynlighet $p$ for «suksess».

Forventningsverdien og standardavviket til $X$ er da gitt ved

$μ = E (X) = n p \begin{matrix} og \end{matrix} σ = \sqrt{n p (1 - p)}$

Sist faglig oppdatert 31.08.2018

Skrevet av Stein Aanensen og Olav Kristensen

Forventningsverdi og standardavvik i en binomisk fordeling

Generelt binomisk forsøk

Læringsressurser

Fagstoff

Oppgaver og aktiviteter

Andre NDLA-nettsteder