Vekstkurven til et tre

Jacob plantet et morelltre i 2006. Treet var 1 meter høyt da han plantet det.

Funksjonen $h$ gitt ved

$h\left(x\right)=-0,003x^3+0,09x^2+1 x\in \left[0, 20\right]$

kan brukes som en modell for å beregne treets høyde de neste 20 årene. $x$ er antall år etter planting og $h\left(x\right)$ gir treets høyde i meter.

Vi ønsker å finne ut hvilket år treet får sin maksimale vekst og hvor stor veksten er da.

Vi vil finne dette både grafisk og ved regning.

For oversiktens skyld, tegner vi grafene til $$ h, h^{\text{'}} \mathrm{og} h^{\text{'}\text{'}}$$ i samme koordinatsystem.

Grafen til $h$ viser treets høyde $x$ år etter at det er plantet. Grafen til $h\text{'}$ viser hvor fort treet vokser.

Grafen til $h$ er brattest etter ca. 10 år. Da må treet ha sin største vekst. Vi ser dette enda tydeligere ved å studere grafen til $$ h^{\text{'}}$$. Den deriverte er jo nettopp vekstfarten. Vi ser at vekstfarten har en maksimalverdi etter 10 år. Treet har sin maksimale vekst når $$ h^{\text{'}}\left(x\right)$$ har sin største verdi. Vi ser grafisk at det er etter 10 år, og den årlige veksten er da 0,9 meter per år.

Vi ser også at grafisk at $$ h^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)$$ er 0 etter 10 år. Det bekrefter at grafen til $$ h^{\text{'}}$$ har et toppunkt her.

Alle tre kurvene kan altså fortelle oss når treet får sin maksimale vekst.

Når den dobbeltderiverte funksjonen er positiv, så vokser den deriverte funksjonen, og selve vekstkurven blir brattere og brattere.

Når den dobbeltderiverte funksjonen er negativ, så avtar den deriverte funksjonen, og selve vekstkurven flater ut.

Forstørret bilde av grafen til $$ h^{\text{'}}$$ og grafen til $$ h^{\text{'}\text{'}}$$

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen

Vi starter med å derivere $h\left(x\right)$.

$$ \begin{array}{rcl}h\left(x\right)& = & -0,003x^3+0,09x^2+1 x\in \left[0, 20\right]\\ & & \\ h^{\text{'}}\left(x\right)& =& -0,009x^2+0,18x\\ & & \\ h^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)& =& 0,018x+0,18\end{array}$$

Så setter vi $$ h^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)=0$$ og finner vendepunktet.

$\begin{array}{rcl}-0,018+0,18& = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{0,18}{0,018}=10\end{array}$

Vi tegner fortegnslinjen til den andrederiverte.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen

Fortegnslinja til $$ h^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)$$ viser at $$ h^{\text{'}}\left(x\right)$$ har en maksimalverdi etter 10 år. Det betyr at treet har maksimal vekst etter 10 år.

Vi kan også finne hvor stor veksten var etter 10 år

$$ h^{\text{'}}\left(x\right)=-0,009·{10}^2+0,18·10=-0,9+1,8=0,9$$

Det betyr at veksten er 0,9 meter per år etter 10 år.