Krumningsforhold og vendepunkter

Funksjonen $$f$$ er gitt ved

$$f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2-2x+1$$

Denne funksjonen er også drøftet i eksempel 2 på siden Monotoniegenskaper og drøfting av polynomfunksjoner.

Vi deriverer funksjonen 2 ganger. Da får vi den andrederiverte eller den dobbeltderiverte $$$ f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)$$$.
Legg merke til skrivemåten, nå med to apostrofer.

$$\begin{gathered} $ \begin{array}{l}f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2-2x+1\\ \\ f^{\text{'}}\left(x\right)=x^2-x-2\\ \\ f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)=2x-1\end{array} \\ $ \end{gathered}$$

Vi tegner fortegnslinja til $$$ f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)$$$ og grafen til selve funksjonen i samme koordinatsystem.

Det viser seg at

• en graf vender sin hule side opp når $$$ f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)>0$$$
• en graf vender sin hule side ned når $$$ f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)<0$$$
• en graf kan ha et vendepunkt når $$$ f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)=0$$$

At grafen vender sin hule side opp, $$$ f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)>0$$$, betyr at den deriverte vokser. Det vil si at selve funksjonen vokser mer og mer eller avtar mindre og mindre.

At grafen vender sin hule side ned, $$$ f^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)<0$$$, betyr at den deriverte avtar. Det vil si at selve funksjonen avtar mer og mer eller vokser mindre og mindre.

Et punkt på grafen hvor grafen skifter mellom å vende sin hule side ned og å vende sin hule side opp, eller motsatt, kalles for et vendepunkt. Tangenten til grafen i et slikt punkt kalles for en vendetangent.

Den deriverte har enten sin største verdi eller sin minste verdi i vendepunktet. Det vil si at funksjonen vokser raskest eller avtar raskest i vendepunktet.

Merk at et punkt ikke trenger være et vendepunkt selv om den dobbeltderiverte er null i punktet. Den dobbeltderiverte må også skifte fortegn! Derfor har funksjonen på bildet over et vendepunkt for $$x=\frac{1}{2}$$

Vi har brukt fortegnslinje til den deriverte for å avgjøre om et ekstremalpunkt er maksimalpunkt eller minimalpunkt.

Den dobbeltderiverte gir oss en ny metode for å avgjøre dette

Gitt funksjonen $$f\left(x\right)$$ definert i CAS-vinduet.

Siden $$$ f^{\text{'}}\left(-1\right)=0 \mathrm{og} f^{\text{'}\text{'}}\left(-1\right)$$$ er negativ, har grafen «hul side ned» og
$$x=-1$$ er et maksimalpunkt.

Siden $$$ f^{\text{'}}\left(2\right)=0 \mathrm{og} f^{\text{'}\text{'}}\left(2\right)$$$ er positiv, har grafen «hul side opp» og
$$x=2$$ er et minimalpunkt.

Grafen har toppunkt $$\left(-1, \frac{13}{6}\right)$$

Grafen har bunnpunkt $$\left(2, -\frac{7}{3}\right)$$