Hopp til innhold

Fagartikkel

Krumningsforhold og vendepunkter

Vi har også god nytte av den andrederiverte (dobbeltderiverte) til en funksjon.

LK06

Funksjonen f er gitt ved

fx=13x3-12x2-2x+1

Denne funksjonen er også drøftet i eksempel 2 på siden Monotoniegenskaper og drøfting av polynomfunksjoner.

Vi deriverer funksjonen 2 ganger. Da får vi den andrederiverte eller den dobbeltderiverte f''x.
Legg merke til skrivemåten, nå med to apostrofer.

fx=13x3-12x2-2x+1f'x=x2-x-2f''x=2x-1

Vi tegner fortegnslinja til f''x og grafen til selve funksjonen i samme koordinatsystem.

Krumningsforhold

Det viser seg at

  • en graf vender sin hule side opp når f''x>0
  • en graf vender sin hule side ned når f''x<0
  • en graf kan ha et vendepunkt når f''x=0

At grafen vender sin hule side opp, f''x>0, betyr at den deriverte vokser. Det vil si at selve funksjonen vokser mer og mer eller avtar mindre og mindre.

At grafen vender sin hule side ned, f''x<0, betyr at den deriverte avtar. Det vil si at selve funksjonen avtar mer og mer eller vokser mindre og mindre.

Et punkt på grafen hvor grafen skifter mellom å vende sin hule side ned og å vende sin hule side opp, eller motsatt, kalles for et vendepunkt. Tangenten til grafen i et slikt punkt kalles for en vendetangent.

Den deriverte har enten sin største verdi eller sin minste verdi i vendepunktet. Det vil si at funksjonen vokser raskest eller avtar raskest i vendepunktet.

Merk at et punkt ikke trenger være et vendepunkt selv om den dobbeltderiverte er null i punktet. Den dobbeltderiverte må også skifte fortegn! Derfor har funksjonen på bildet over et vendepunkt for x=12

Toppunkt eller bunnpunkt? Dobbeltderiverttesten!

Skjermbilde av å beregne dobbelderivert i CAS GeoGebra. Bilde.

Vi har brukt fortegnslinje til den deriverte for å avgjøre om et ekstremalpunkt er maksimalpunkt eller minimalpunkt.

Den dobbeltderiverte gir oss en ny metode for å avgjøre dette

Gitt funksjonen f(x) definert i CAS-vinduet.

Siden f'-1=0 og f''-1 er negativ, har grafen «hul side ned» og
x=-1 er et maksimalpunkt.

Siden f'2=0 og f''2 er positiv, har grafen «hul side opp» og
x=2 er et minimalpunkt.

Grafen har toppunkt -1, 136

Grafen har bunnpunkt 2, -73

Sist oppdatert 12.09.2018
Skrevet av Stein Aanensen og Olav Kristensen

Læringsressurser

Funksjonsdrøfting