Hopp til innhold
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Lineære funksjoner

Grafene til lineære funksjoner er rette linjer. Det er mange ting som endres lineært.

FooterHeaderIconFooter iconLK06
Jente som løper.Foto.

Lene løper med en jevn fart på 160 m/min.

  • Hvor langt har Lene løpt etter 70 minutter?
  • Hvor lang tid bruker Lene på å løpe 5 000 meter?

Vi kan beskrive sammenhengen mellom strekningen Lene tilbakelegger og hvor lenge hun har løpt ved hjelp av funksjonen S gitt ved

St=160t

der S(t) står for strekningen i meter som Lene har tilbakelagt etter t minutter.

Vi antar at løpeturen varer i 100 minutt. Det vil si at t varierer fra 0 til 100.

Vi kan tegne grafen til funksjonen S i GeoGebra. Vi bruker kommandoen «Funksjon[<Funksjon>,<Start>,<Slutt>]», og på skrivelinjen skriver vi St=Funksjon[160t, 0, 100].

Legg merke til at vi ikke trenger skrive inn hele uttrykket. Så fort vi begynner å skrive får vi flere valg.

Bruk knappen «Flytt grafikkfeltet» for å plassere koordinatsystemet i ønsket posisjon og dra i koordinataksene for å få ønskede avstander.

Fra Algebrafeltet kan du «dra» funksjonsuttrykket over til Grafikkfeltet. Bruk «Innstillinger - Avansert - Grafikkfelt» eller høyreklikk når du peker på et punkt i Grafikkfeltet, for å angi «Navn» og «Avstand» på aksene.

Skjermbilde i GeoGebra. Bilde.

Hvor langt har Lene løpt etter 70 minutter?

Ved grafisk løsning kan vi skrive x=70 og vi får en «loddrett» linje gjennom punktet D. Vi finner skjæringspunktet mellom denne linjen og grafen ved kommandoen «Skjæring» eller «Skjæring mellom to objekt». Vi får punktet E=(70, 11200). Det betyr at Lene har løpt 11 200 meter etter 70 minutter.

En kjappere metode er å skrive inn punktet (70, S(70)) på skrivelinjen. Da får du punktet E på grafen.

Ved regning skriver vi S(70) i CAS-feltet og klikker på knappen «Regn ut».

Hvor lang tid bruker Lene på å løpe 5 000 meter?

Ved grafisk løsning kan vi skrive y=5000 og vi får en «vannrett» linje gjennom punktet A. Vi finner skjæringspunktet mellom denne linjen og grafen ved kommandoen «Skjæring» eller «Skjæring mellom to objekt». Vi får punktet B=(31.25, 5000). Det betyr at Lene har brukt 31,25 minutter som er lik 31 minutter og 15 sekunder på å løpe 5 000 meter.

Ved regning skriver vi S(t)=5000 i CAS og klikker på knappen «Løs en eller flere likninger numerisk».

Lineære funksjoner

Grafen til funksjonen S gitt ved Sx=160t er en rett linje, og er derfor en lineær funksjon. Ordet "lineær" betyr "rettlinja".

Alle lineære funksjoner kan skrives som et konstant tall multiplisert med en variabel pluss et konstant tall.

En lineær funksjon er en funksjon som kan skrives på formen

fx=ax+b       der a og b er konstante tall.

Stigningstall og konstantledd

Funksjonen som beskriver løpeturen til Lene kan skrives som St=160·t+0. Det betyr at
a=160 og b=0.

Stigningstall og konstantledd på graf. Bilde.

Vi ser at grafen til St=160·t+0 skjærer y-aksen der y=b=0.
Grafen skjærer andreaksen når t=0 og S0=160·0+0=0.
Tallet b kalles konstantleddet og viser alltid hvor grafen skjærer y-aksen.

Tallet a viser hvor mye grafen stiger når x øker med 1 enhet. Tallet a kalles stigningstallet. Vi ser at stigningstallet er 160. Det betyr at når tiden øker med ett minutt så øker strekningen med 160 meter. Det betyr at farten er 160 meter per minutt. Stigningstallet svarer altså til farten i dette tilfellet.

Hvordan finne funksjonsuttrykket til en lineær funksjon ut fra grafen

Bilde av koordinatsystem

I koordinatsystemet til høyre har vi tegnet grafen til en lineær funksjon som går gjennom noen kjente punkter.

Grafen skjærer y-aksen i punktet (0, -1). Det betyr at b=-1.

Når vi går én enhet til høyre fra (0, -1), eller for eksempel fra (2, 3), må vi gå to enheter oppover parallelt med y-aksen for igjen å treffe grafen. Det betyr at a=2.

Funksjonsuttrykket blir derfor f(x)=2x-1 .

Det er heller ikke nødvendig å gå én enhet til høyre for å finne stigningstallet. Ved å starte i punktet (1, 1) og for eksempel gå to enheter til høyre, må vi gå fire enheter oppover parallelt med y-aksen for igjen å treffe grafen.

Stigningstallet blir

a=42=2

Skjæringspunktet mellom to rette linjer

To firmaer leier ut selskapslokaler.

Firma A tar en fast leiepris på 3 000 kroner og et timetillegg på 500 kroner. Kostnadene i kroner, A(x), ved leie av lokalet i x timer kan beskrives med funksjonsuttrykket

Ax=500x+3000

Firma B tar en fast leiepris på 2000 kroner og et timetillegg på 1 000 kroner. Kostnadene i kroner, B(x) , ved leie av lokalet i x timer kan beskrives med funksjonsuttrykket

Bx=1000x+2000

Graf over kostnader og antall timer. Bilde.

Vi tegner grafene til de to funksjonene og finner skjæringspunktet mellom grafene ved kommandoen "Skjæring" eller «Skjæring mellom to objekt».

Grafene skjærer hverandre når x=2. Det betyr at hvis du skal leie lokalet i to timer, er det prismessig det samme hvilket firma du velger. Prisen er 4000 kroner hos begge firmaene.

Hvis du skal leie lokalet i mindre enn to timer, lønner det seg å velge firma B. Det ser vi ved at grafen til B(x) ligger under grafen til A(x) i dette området.

Hvis du skal leie lokalet i mer enn to timer, lønner det seg å velge firma A. Det ser vi ved at grafen til B(x) ligger under grafen til A(x) i dette området.

Skjæringspunkt ved regning i GeoGebra. Bilde.

Vi kan kontrollere den grafiske løsningen ved regning

Vi får også her at leieprisene er like når leietiden er to timer og at leieprisen da er 4 000 kroner.

Vi ser at for disse funksjonene svarer stigningstallet til timeprisen og konstantleddet til den faste leieprisen.

Nullpunkt

Med et nullpunkt til en funksjon f, mener vi et punkt på grafen hvor andrekoordinaten er lik null. Det er med andre ord et punkt hvor grafen til funksjonen skjærer x -aksen.
I nullpunktet er f(x)=0 .

Like før sommerferien får Janne tilbud om å kjøpe en brukt båt med motor for kroner 9 000. Janne har ikke penger, men får et rentefritt lån av sine foreldre på kroner 9 000 som skal betales tilbake gjennom sommeren med ukentlige avdrag på kr 1 500. Janne har fått sommerjobb med ukelønn på kroner 4 000.

Graf over gjeld i kroner. Bilde.

Restgjelden Janne har til sine foreldre x uker etter at hun opptar lånet, kan beskrives med den lineære funksjonen

R(x)=-1500x+9000

Konstantleddet er 9 000. Det betyr at restgjelden i starten er på kroner 9000.

Stigningstallet er negativt, -1500.
Det betyr at restgjelden avtar med 1 500 kroner per uke. Vi kan si at restgjelden har negativ lineær vekst!

Vi finner nullpunktet til funksjonen i GeoGebra med kommandoen «Nullpunkt[<Polynom>]» eller verktøyet «Nullpunkt». Nullpunktet er (6, 0). Det forteller at lånet er nedbetalt, restgjelden er null, etter 6 uker.

Finne nullpunkt i CAS GeoGebra. Bilde.

Ved regning løser vi likningen og får samme løsning.

Sist oppdatert 02.10.2018
Tekst: Stein Aanensen og Olav Kristensen (CC BY-NC-SA)

Læringsressurser

Funksjoner i praksis