Faktorisering av andregradsuttrykk ved "stirremetoden"

Du har nå lært hvordan du kan faktorisere andregradsuttrykk ved å lage fullstendige kvadrater. Du skal også lære en metode som kalles nullpunktmetoden. Felles for disse er at de er tidkrevende.

Faktorisering av andregradsuttrykk får du mye bruk for, spesielt når du skal løse andregradslikninger og tredjegradslikninger.

Det fine er at det finnes en enkel og kjapp metode som kan brukes på svært mange andregradsuttrykk. Denne metoden kalles ofte for stirremetoden.

Du har sett at $x^2+4x-5=\left(x+5\right)\left(x-1\right)$.

Hele faktoriseringen går egentlig bare ut på å finne tallene $+5$ og $-1$. Det spesielle med disse tallene er at produktet er lik konstantleddet i uttrykket som skal faktoriseres, $\left(+5\right)·\left(-1\right)=-5$, og summen er lik koeffisienten foran førstegradsleddet $\left(+5\right)+\left(-1\right)=+4$.

Hvorfor er det alltid slik?

Det generelle andregradsuttrykket kan skrives på formen $a{x}^2+bx+c$. Når $a=1$, får vi $x^2+bx+c$.

La $d \text{og} e$ være to tall. Nå er

$\left(x+d\right)\left(x+e\right)=x^2+dx+ex+de=x^2+\left(d+e\right)x+d·e$

Det betyr at hvis $d·e=c$ og $d+e=b$, så er

$x^2+bx+c=\left(x+d\right)\left(x+e\right)$

Det gjelder å finne tallene $d\text{ og} e$ hvor produktet er lik$c$og summen er lik$b$.

Hvis du er god i hoderegning, kan du i mange tilfeller klare å finne disse tallene. Hvis du ikke er god i hoderegning, er det en fin måte å bli god i hoderegning på.

Vi skal faktorisere $x^2+4x-5$.

Både $\left(+5\right)·\left(-1\right)=-5$ og $\left(-5\right)·\left(+1\right)=-5$, men det er bare $\left(+5\right)+\left(-1\right)$ som er lik $+4$. Det betyr at

$x^2+4x-5=\left(x+5\right)\left(x-1\right)$

Vi skal faktorisere $2x^2-8x-42$.

Først setter vi tallet 2 utenfor en parentes og får

$2x^2-8x-42=2\left(x^2-4x-21\right)$.

Så kan vi faktorisere $x^2-4x-21$.

Vi har her flere kombinasjoner av to tall hvis produkt blir lik $-21$:

$\left(+3\right)·\left(-7\right)=\left(-3\right)·\left(+7\right)=\left(-1\right)·\left(+21\right)=\left(+1\right)·\left(-21\right)=-21$

Det er bare $\left(+3\right)+\left(-7\right)$ som er lik $-4$. Det betyr at

$2x^2-8x-42=2\left(x^2-4x-21\right)=2\left(\left(x+3\right)\left(x-7\right)\right)$