Vi tenker oss et legeme som faller i tyngdefeltet nær jordens overflate og som kun påvirkes av tyngdekraften og av luftmotstanden.

Tyngdekraften, eller gravitasjonskraften, er tiltrekningskraften til jorden og er proporsjonal med legemets masse $$m$$.

Proporsjonalitetskonstanten, $$g$$, varierer litt avhengig av hvor i jordens tyngdefelt legemet befinner seg, men en gjennomsnittlig verdi er 9,81 m/s² eller tilnærmet lik 10 m/s². Dette er akselerasjonen et legeme vil få i fritt fall uten luftmotstand.

En modell for luftmotstanden er at den er proporsjonal med farten, $$v$$ , til legemet. Proporsjonalitetskonstanten, $$k$$, avhenger av legemets form og masse. En person med fallskjerm har for eksempel større luftmotstand enn en person uten fallskjerm. For en kule av bly som faller fra et par meters høyde kan man i praksis se bort fra luftmotstanden.

Newtons andre lov, kjent fra naturfag og fysikk, sier at summen av alle krefter som virker på et legeme er lik legemets masse multiplisert med den akselerasjonen legemet får

$$F=m·a$$

Her brukes $$F$$ som betegnelse på summen av kreftene som virker på legemet og er ikke i seg selv en kraft.

Newtons andre lov er på vektorform. Men siden vi her bare skal studere rettlinjet bevegelse, kan vi nøye oss med å definere positiv retning og si at en kraft er positiv hvis den virker i positiv retning og negativ hvis den virker i motsatt retning.

Vi definerer positiv retning mot jordas sentrum, og summen av kreftene blir da $$mg-kv$$.

Newtons andre lov gir oss da følgende likning

$$m·a=m·g-k·v$$

Akselerasjonen er den deriverte til farten, og vi får

$$\[ \begin{array}{rcl} m·v^{\text{'}}& = & m·g-k·v\\ & & \\ m·v^{\text{'}}+k·v& =& m·g\\ & & \\ v^{\text{'}}+\frac{k}{m}v& =& g\end{array} \]$$

Vi har nå fått en første ordens lineær differensiallikning som du kan løse!

Vi tenker oss et legeme som har masse 100 kg faller i tyngdefeltet og at proporsjonalitetskonstanten for luftmotstanden er 20.

Vi tenker oss videre at legemet har farten 6 meter per sekund når vi starter klokken.

Vi vil finne en modell som viser farten til legemet $$t$$ sekunder etter at vi startet klokken.

Vi bruker Newtons andre lov igjen og får

$$\begin{array}{rcl}F& = & m·a\\ & & \\ m·g-k·v& =& m·a\end{array}$$

Vi setter inn $$m=100, g=10 \mathrm{og} k=20$$ og får

$$\[ \begin{array}{rcl}100·10-20·v& = & 100·a\\ & & \\ 10-0,2v& =& v^{\text{'}}\\ & & \\ v^{\text{'}}+0,2v& =& 10\end{array} \]$$

Vi løser likningen

$$\[ \begin{array}{rcll}{v}^{\text{'}}·e^{0,2t}+0,2v·e^{0,2t}& = & 10·e^{0,2t}& \left(\mathrm{Mult}. \mathrm{m}. e^{0,2v}\right)\\ & & & \\ {\left(v·e^{0,2t}\right)}^{\text{'}}& =& 10·e^{0,2t}& \\ & & & \\ v·e^{0,2t}& =& \int 10·e^{0,2t} dt& \\ & & & \\ & =& 10·e^{0,2t}·\frac{1}{0,2}+C& \\ & & & \\ v& =& 50+C·e^{-0,2t}& \end{array} \]$$

Siden farten er 6 meter per sekund når vi starter klokken, får vi

$$6=50+C·e^{-0,2·0}\Rightarrow C=-44$$

Modellen for farten $$t$$ sekunder etter at vi startet klokken, blir da

$$v=50-44·e^{-0,2t}$$

Generell løsning

Vi tar også med den generelle løsningen av likningen $$\[ v^{\text{'}}+\frac{k}{m}v=g \]$$.$$\begin{array}{}\end{array}$$

$$\[ \begin{array}{rcll}v\text{'}+\frac{k}{m}v& =& g& \\ & & & \\ v^{\text{'}}·e^{\frac{k}{m}t}+\frac{k}{m}v·e^{\frac{k}{m}t}& = & g·e^{\frac{k}{m}t} & \left(\mathrm{Mult}. \mathrm{m}. e^{\frac{k}{m}v}\right)\\ & & & \\ {\left(v·e^{\frac{k}{m}t}\right)}^{\text{'}}& =& g·e^{\frac{k}{m}t}& \\ & & & \\ v·e^{\frac{k}{m}t}& =& \int g·e^{\frac{k}{m}t} dt& \\ & & & \\ & =& g\int e^u·\frac{m}{k} du& \\ & & & \\ & =& \frac{mg}{k}\int e^u du& \\ & & & \\ & =& \frac{mg}{k}·e^{\frac{k}{m}t}+C& \\ & & & \\ v& =& \frac{mg}{k}+C{e}^{-\frac{k}{m}t}& \end{array} \]$$

Legg merke til at når tiden øker blir $$e^{-\frac{k}{m}t}$$ mindre og mindre, og farten vil etter hvert stabilisere seg som $$v=\frac{mg}{k}$$.

Dette kan vi også se direkte av likningen $$m·a=m·g-k·v$$. Etter hvert som luftmotstanden bremser fartsøkningen vil akselerasjonen til slutt bli null.

Det gir

$$0=m·g-k·v \Rightarrow kv=mg \Rightarrow v=\frac{mg}{k}$$