Hvordan utvikler hastigheten seg for ei kule som faller fritt gjennom lufta når vi tar hensyn til luftmotstanden?
Modellering - Fall i tyngdefeltet
Vi tenker oss et legeme som faller i tyngdefeltet nær jordens overflate og som kun påvirkes av tyngdekraften og av luftmotstanden.
Tyngdekraften, eller gravitasjonskraften, er tiltrekningskraften til jorden og er proporsjonal med legemets masse .

Proporsjonalitetskonstanten, , varierer litt avhengig av hvor i jordens tyngdefelt legemet befinner seg, men en gjennomsnittlig verdi er 9,81 m/s2 eller tilnærmet lik 10 m/s2. Dette er akselerasjonen et legeme vil få i fritt fall uten luftmotstand.
En modell for luftmotstanden er at den er proporsjonal med farten, , til legemet. Proporsjonalitetskonstanten, , avhenger av legemets form og masse. En person med fallskjerm har for eksempel større luftmotstand enn en person uten fallskjerm. For en kule av bly som faller fra et par meters høyde kan man i praksis se bort fra luftmotstanden.
Newtons andre lov, kjent fra naturfag og fysikk, sier at summen av alle krefter som virker på et legeme er lik legemets masse multiplisert med den akselerasjonen legemet får
Her brukes som betegnelse på summen av kreftene som virker på legemet og er ikke i seg selv en kraft.
Newtons andre lov er på vektorform. Men siden vi her bare skal studere rettlinjet bevegelse, kan vi nøye oss med å definere positiv retning og si at en kraft er positiv hvis den virker i positiv retning og negativ hvis den virker i motsatt retning.
Vi definerer positiv retning mot jordas sentrum, og summen av kreftene blir da .
Newtons andre lov gir oss da følgende likning
Akselerasjonen er den deriverte til farten, og vi får
Vi har nå fått en første ordens lineær differensiallikning som du kan løse!
Eksempel

Vi tenker oss et legeme som har masse 100 kg faller i tyngdefeltet og at proporsjonalitetskonstanten for luftmotstanden er 20.
Vi tenker oss videre at legemet har farten 6 meter per sekund når vi starter klokken.
Vi vil finne en modell som viser farten til legemet
Vi bruker Newtons andre lov igjen og får
Vi setter inn
Vi løser likningen
Siden farten er 6 meter per sekund når vi starter klokken, får vi
Modellen for farten

Generell løsning
Vi tar også med den generelle løsningen av likningen
Legg merke til at når tiden øker blir
Dette kan vi også se direkte av likningen
Det gir