Hopp til innhold

Fagartikkel

Enhetssirkelen. Generell definisjon av sinus, cosinus og tangens.

Vi kan også definere sinus, cosinus og tangens til vinkler som ikke ligger mellom 0° og 90°.

LK06

Enhetssirkelen

Vi starter med en vinkel v0°, 90°. Vi oppretter så motstående katet slik at vi får en rettvinklet trekant med hypotenus lik 1.

Vi kaller katetene for a og b.

Ulike vinkler. Illustrasjon.

Vi får da

sinv = b1=bcosv=a1=a

Enhetssirkel

Vi legger et koordinatsystem med origo i toppunktet til vinkelen slik at vinkelens høyre bein blir liggende langs den positive x-aksen. Deretter tegner vi en sirkel med radius lik 1 og sentrum i origo. Vi kaller denne sirkelen for enhetssirkelen.

Vi lar P være skjæringspunktet mellom enhetssirkelen og venstre vinkelbein til v.

Punktet P har koordinatene (a, b). Vi ser da at cosinus til vinkelen blir lik førstekoordinaten til P, og at sinus til v blir lik andrekoordinaten til P. Det betyr at P=(cosv, sinv)

Hvordan kan vi ut fra figuren ovenfor se at tanv=sinvcosv når cosv0?

Hvordan kan vi ut fra figuren ovenfor se at sinv2+cosv2=1?

Definisjon

Enhetssirkel. Illustrasjon.

Sinus, cosinus og tangens til en vinkel v

Vi plasserer vinkel v i et koordinatsystem sammen med en enhetssirkel slik figuren til høyre viser.

Punktet P er skjæringspunktet mellom vinkelens venstre vinkelbein og enhetssirkelen.

v er vinkelen mellom den positive x-aksen og linjestykket OP.

Vi har da

cosv=  førstekoordinaten til  P=a

sinv=  andrekoordinaten til  P=b

tanv=sinvcosv  når  cosv0

Med denne definisjonen definerer vi også sinus, cosinus og tangens til vinkler som ikke ligger mellom 0° og 90°.

Bilde av en enhetssirkel

For en vinkel mellom 90° og 180° ser vi at cosv=a blir negativ og sinv=b blir positiv.

Kan du se at sin90°=1, og at
sin180°=0?

Hva er cos90°?

Hva er cos180°?

Enhetssirkel. Illustrasjon.

For en vinkel mellom 180° og 270° ser vi at både cosv=a og sinv=b blir negative.

Kan du se at cos270°=0, og at
sin270°=1?

Hvordan blir fortegnene til sinus og cosinus til vinkler mellom 270° og 360°?

Sist oppdatert 07.09.2018
Skrevet av Olav Kristensen og Stein Aanensen

Læringsressurser

Trigonometriske definisjoner