Oppgave

Betinget sannsynlighet og den generelle produktsetningen

Prøv å gjøre så mange som mulig av oppgavene uten hjelpemidler.

3.5.4

Hatt med lapper med tallene 1 til 5. Illustrasjon. — Olav Kristensen, Stein Aanensen

Du legger fem lapper nummerert fra 1 til 5 i en hatt, og trekker etter tur ut to lapper.

a) Hva er sannsynligheten for at du først trekker nummer 3 og så nummer 4, dersom du legger tilbake den første lappen før du trekker neste lapp?

vis fasit

$P (Først 3 så 4) = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{25}$

b) Hva er sannsynligheten for at du først trekker nummer 3 og så nummer 4, dersom du ikke legger tilbake den første lappen før du trekker neste lapp?

vis fasit

$P (Først 3 så 4) = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{20}$

3.5.5

I en boks ligger det 4 blå, 3 røde og 5 gule kuler. Du trekker ut to kuler fra boksen. (Du legger ikke tilbake første kule før du trekker den neste.)

a) Hva er sannsynligheten for at begge kulene er røde?

vis fasit

$P (R R) = \frac{3}{12} \cdot \frac{2}{11} = \frac{1}{22} \approx 0, 045$

b) Hva er sannsynligheten for at den første kula du trekker ut er blå, og den andre kula du trekker ut er gul?

vis fasit

$P (B G) = \frac{4}{12} \cdot \frac{5}{11} = \frac{5}{33} \approx 0, 15$

c) Hva er sannsynligheten for at du trekker én blå og én gul kule?

vis fasit

Her må vi passe på. Å trekke én blå og én gul kule kan gjøres på to måter. Du kan først trekke én blå kule og deretter én gul kule eller du kan først trekke én gul kule og deretter én blå kule.

$P (B G eller G B) = \frac{4}{12} \cdot \frac{5}{11} + \frac{5}{12} \cdot \frac{4}{11} = \frac{10}{33} \approx 0, 30$

3.5.6

Omtrent én tidel av verdens befolkning er venstrehendte.

a) Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig person er høyrehendt?

vis fasit

$P (Høyrehendt) = 1 - 0, 10 = 0, 90$

I en klasse er det 20 elever.

b) Hva er sannsynligheten for at det ikke er noen venstrehendte i denne klassen?

vis fasit

$P (Alle høyrehendte) = 0, 90^{20} = 0, 12$

c) Hva er sannsynligheten for at det er minst én venstrehendt i klassen?

vis fasit

Enten er ingen venstrehendte eller så er det minst én venstrehendt.

Vi kan da skrive

$\begin{array}{rcl} P (Minst én venstrehendt) & = & 1 - P (Ingen venstrehendte) \\ = & 1 - 0, 12 \\ = & 0, 88 \end{array}$

(Ingen venstrehendte er det samme som alle høyrehendte.

3.5.7

I en skål ligger det 100 nøtter. 5 av nøttene er dårlige. Du tar tre nøtter tilfeldig.

a) Hva er sannsynligheten for at alle tre nøttene er fine?

vis fasit

$P (3 fine nøtter) = \frac{95}{100} \cdot \frac{94}{99} \cdot \frac{93}{98} = 0, 856$

b) Hva er sannsynligheten for at de to siste nøttene er fine, når du vet at den første var dårlig?

vis fasit

$\begin{array}{rcl} P (De to siste nøttene er fine når \\ vi vet at den første var dårlig) & = & \frac{95}{99} \cdot \frac{94}{98} \\ = & 0, 920 \end{array}$

c) Hva er sannsynligheten for at den tredje nøtta er fin, når de to første var dårlige?

vis fasit

$\begin{array}{rcl} P (Den tredje nøtta er fin når \\ vi vet at de to første var dårlige) & = & \frac{95}{98} \\ = & 0, 969 \end{array}$

3.5.8

Et passord består av 5 siffer.

a) Hvor mange ulike kombinasjoner kan du få dersom du kan bruke tallene 0 til 9 akkurat som du vil?

vis fasit

Vi har 10 siffer å velge mellom, og kan få $10^{5} = 100 000$ mulige kombinasjoner av passordet.

b) Hvor mange kombinasjoner kan du få dersom alle tallene må være ulike?

vis fasit

For første tall har du 10 mulige siffer å velge mellom, for andre tall har du nå 9 siffer å velge mellom osv.

Vi får da $10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 30 240$ mulige kombinasjoner av passordet.

3.5.9

Terning med 12 sidekanter. Illustrasjon. — Ukjent

Figuren viser en 12-sidet terning der tallene 1, 2, 3, ... , 12 er skrevet på sidene. De 12 mulige utfallene er like sannsynlige.

a) Hva er sannsynligheten for å få 12 når du kaster terningen én gang?

vis fasit

$P (12 i et kast) = \frac{1}{12}$

b) Du kaster terningen to ganger. Hva er sannsynligheten for å få 12 begge gangene?

vis fasit

$P (12 i begge kastene) = \frac{1}{12} \cdot \frac{1}{12} = \frac{1}{144}$

c) Hva er sannsynligheten for at summen av tallene på terningene er mindre enn 6 dersom du kaster terningen to ganger?

vis fasit

Setter utfallene opp i en tabell for å få oversikt.

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21
10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23
12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24

Det er i alt $12 \cdot 12 = 144$ mulige utfall.

Sannsynligheten for at summen er mindre enn 6 (se rutene hvor tallene er uthevet i tabellen) blir dermed

$\frac{10}{144} = \frac{5}{72} \approx 0, 07$

3.5.10

Lærer Hansen er i skitrekket med klassen sin. Det er 13 gutter og 17 jenter i klassen. Elevene tar skiheisen opp, og Hansen blir igjen nede. Han lurer på om det er en gutt eller en jente som kommer først ned bakken. Vi antar at elevene kommer ned i tilfeldig rekkefølge.

a) Hva er sannsynligheten for at den første eleven som kommer ned, er en gutt?

vis fasit

$P (Første er en gutt) = \frac{13}{30} \approx 0, 433$

b) Hva er sannsynligheten for at den andre eleven som kommer ned er en jente, når den første var en gutt?

vis fasit

$P (Andre er en jente når den første var gutt) = \frac{17}{29} \approx 0, 586$

Den andre gangen elevene tar heisen opp, er det bare 9 gutter og 6 jenter som er med.

c) Hva er sannsynligheten for at de to første som kommer ned denne gangen, er jenter?

vis fasit

$P (To første er jenter) = \frac{6}{15} \cdot \frac{5}{14} = \frac{1}{7} \approx 0, 143$

3.5.11

Thomas har to søsken. Ingen er tvillinger eller trillinger.

a) Hva er sannsynligheten for at de tre søsknene har gebursdag på ulike ukedager?

vis fasit

Vi har 7 ulike ukedager. Tenk deg at søsken nummer en har gebursdag en bestemt ukedag. Da har søsken nummer to 6 andre ukedager å ”velge” mellom. Søsken nummer tre har 5 ukedager å velge mellom.

Vi får da $\frac{7}{7} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{5}{7} = 0, 61$ .

b) Hva er sannsynligheten for at minst to av søsknene har gebursdag på samme ukedag?

vis fasit

Enten har ingen av søsknene gebursdag på samme ukedag eller så har minst to av søsknene gebursdag på samme ukedag.

Vi får da $1 - 0, 61 = 0, 39$ .

Nå tar vi med foreldrene til Thomas.

c) Hva er sannsynligheten for at de fem familiemedlemmene har gebursdag på ulike ukedager?

vis fasit

Vi får $\frac{7}{7} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{5}{7} \cdot \frac{4}{7} \cdot \frac{3}{7} = 0, 15$ .

3.5.12

For å vinne toppgevinsten i lotto må du velge ut 7 riktige tall blant tallene fra og med 1 til og med 34. Trekningen er uten tilbakelegging. Du velger ut akkurat 7 tall.

a) Hva er da sannsynligheten for å vinne toppgevinsten i lotto?

vis fasit

Sannsynligheten for å vinne toppgevinsten blir

$\frac{7}{34} \cdot \frac{6}{33} \cdot \frac{5}{32} \cdot \frac{4}{31} \cdot \frac{3}{30} \cdot \frac{2}{29} \cdot \frac{1}{28} = \frac{1}{5379616}$

b) Hva er da sannsynligheten for at ingen av tallene du tipper er riktige?

vis fasit

Sannsynligheten for at ingen av tallene er riktige blir

$\frac{27}{34} \cdot \frac{26}{33} \cdot \frac{25}{32} \cdot \frac{24}{31} \cdot \frac{23}{30} \cdot \frac{22}{29} \cdot \frac{21}{28} = 0, 165$

c) Hva er da sannsynligheten for at minst ett av tallene er riktig?

vis fasit

Sannsynligheten for at minst ett av tallene er riktig blir

$1 - 0, 165 = 0, 835$

Sist faglig oppdatert 20.11.2018

Skrevet av Olav Kristensen og Stein Aanensen

Betinget sannsynlighet og den generelle produktsetningen

3.5.4

3.5.5

3.5.6

3.5.7

3.5.8

3.5.9

3.5.10

3.5.11

3.5.12

Læringsressurser

Læringssti

Fagstoff

Oppgaver og aktiviteter

Andre NDLA-nettsteder

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21
10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23
12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21
10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23
12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21
10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23
12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24