På siden om proporsjonalitet og koordinatsystemet studerer vi et eksempel med epler som koster 30 kroner per kg. Der finner vi ut at antall kg epler du kjøper, er proporsjonal med prisen du betaler for eplene.

Eksempel: handle frukt for 100 kroner

Fruktfat med røde epler, bananer, pærer og blå druer. Foto. — Jan Ovind, VG, NTB scanpix

Vi skal nå se på en litt annerledes situasjon. I dagligvarebutikken har de i tillegg til epler til 30 kr/kg også pærer til 40 kr/kg og appelsiner til 20 kr/kg. Du har 100 kroner å handle frukt for. Hvor mye frukt får du hvis du kjøper epler for pengene?

Epler for 100 kroner

Antall kg epler for 100 kroner blir

$\frac{100 kr}{30 kr / kg} = 3, 33 kg$

Legg merke til at vi får automatisk enheten "kg" av regnestykket.

$\frac{kr}{\frac{kr}{kg}} = kr : \frac{kr}{kg} = kr \cdot \frac{kg}{kr} = kg$

Her har vi brukt regelen om at å dele på en brøk er det samme som å multiplisere (gange) med den omsnudde brøken. Husk igjen at skråstrek og brøkstrek er det samme som divisjon (deling).

Fullfør tabellen under, som viser hvor mye frukt du får i de ulike tilfellene.

Kilopris (kr/kg)	20	30	40
Fruktmengde (kg)		3,33

Tabell over antall kg frukt

Vi gjør tilsvarende utregning med kiloprisen for appelsiner og pærer.

Kilopris (kr/kg)	20	30	40
Fruktmengde (kg)	5	3,33	2,5

Lag en ny rad i tabellen der du multipliserer (ganger) antall kg frukt med kiloprisen. Hva får du?

Utvidet tabell

Kilopris (kr/kg)	20	30	40
Fruktmengde (kg)	5	3,33	2,5
Kilopris·antall kg frukt (kr)	$\begin{array}{rcl} 20 kr / kg \cdot 5 kg \\ = & 100 kr \end{array}$	$\begin{array}{rcl} 30 kr / kg \cdot 3, 33 kg \\ = & 99, 9 kr \end{array}$	$\begin{array}{rcl} 40 kr / kg \cdot 2, 5 kg \\ = & 100 kr \end{array}$

Vi får det samme svaret overalt i rad 3. Produktet av kilopris og antall kg frukt er konstant. Vi får riktig nok ikke nøyaktig 100 for det andre tallet, men det er fordi vi ikke har tatt med mange (nok) desimaler, eller ikke skrevet svaret i den forrige tabellen som brøken $\frac{10}{3}$ i stedet for desimaltallet 3,33.

Det var kanskje ikke noen overraskelse at vi får det samme svaret overalt i den tredje raden? Når vi undersøker produktet av to størrelser slik vi har gjort over og finner at produktet er konstant, sier vi at størrelsene er omvendt proporsjonale.

Hvilke størrelser er omvendt proporsjonale her?

Størrelser som er omvendt proporsjonale

Det er størrelsene kilopris og antall kg frukt (som kan kjøpes) som er omvendt proporsjonale størrelser. Det er disse to vi har regnet ut produktet av.

Hva skjer med antall kg frukt du kan kjøpe dersom kiloprisen halveres?

Halvering av kilopris

Dersom kiloprisen halveres, vil antall kg frukt du kan kjøpe, dobles. Det motsatte gjelder også: Dersom kiloprisen dobles, vil antall kg frukt du kan kjøpe, halveres.

Det konstante produktet kaller vi proporsjonalitetskonstanten. Vi bruker denne betegnelsen både når størrelser er proporsjonale og omvendt proporsjonale.

Hva er proporsjonalitetskonstanten i dette eksempelet?

Proporsjonalitetskonstanten

Proporsjonalitetskonstanten i eksempelet er 100 kr, det vil si det antallet kroner vi har å kjøpe frukt for.

Lag til slutt en formel for fruktmengden $M$ når kiloprisen er $x$ .

Formel

Vi finner som før fruktmengden ved å dividere 100 kr på kiloprisen. Da får vi

$M = \frac{100}{x}$

Eksempel: leie hytte

Hytte i vinterskog. Foto. — Espen Bratlie, Samfoto, NTB

Dere skal leie ei hytte for ei helg. Hytteutleieren sier at dersom dere er 4 personer, er prisen 1 250 kroner per deltaker. Dersom dere blir 5, er prisen 1 000 kroner per deltaker, og dersom dere blir bare 3, er prisen 1 667 kroner.

Er antall deltakere på hytteturen og prisen per deltaker omvendt proporsjonale størrelser?

Tips til framgangsmåte

Gjør tilsvarende som i eksempelet med frukt over.

Test på omvendt proporsjonalitet

Vi lager en tabell med én rad for antall personer, én rad for pris per person og en tredje rad der vi multipliserer tallene i de to første radene.

Antall personer	3	4	5
Pris per person (kr/pers)	1 667	1 250	1 000
Antall personer · pris per person (kr)	5 001	5 000	5 000

Utregningene viser at antall personer og prisen per person bare er nesten omvendt proporsjonale. Men vi kan mistenke at prisen på 1 667 kroner for 3 personer er et avrundet tall. I så fall er de to størrelsene omvendt proporsjonale.

Hva koster det å leie hytta totalt?

Total pris for leie av hytta

Den totale prisen for å leie hytta er 5 000 kroner – hvis vi antar at prisen per person når de er 3 personer, er avrundet.

Hva er proporsjonalitetskonstanten?

Proporsjonalitetskonstanten

Hvis vi antar at prisen for 3 personer er avrundet, er størrelsene omvendt proporsjonale, og proporsjonalitetskonstanten er totalprisen for leie av hytta, 5 000 kroner.

Oppsummering

Ta stilling til påstandene nedenfor.

Film om omvendt proporsjonalitet

Introduksjon