Hopp til innhold

Fagartikkel

Pytagoras’ setning

Vi bruker Pytagoras' setning til å finne ukjente sider i rettvinklede trekanter.

LK20LK06
Rettvinklet trekant med side a er lik 3, side b er lik 4 og side c, som er hypotenusen, lik 5. Illustrasjon.

Tegn en trekant som er rettvinklet, og der de korteste sidene er 3 og 4 enheter lange. Figuren viser en slik trekant som er tegnet i GeoGebra. Mål den lengste siden. Blir denne 5 enheter lang?

Ta nå alle tre sidelengdene og multipliser dem med seg selv. Du får da kvadratet av sidelengdene.

Kvadratet av sidelengden a er a2=52=25.

Kvadratet av sidelengden b er b2=32=9.

Kvadratet av sidelengden c er c2=42=16.

Sammenlign summen av kvadratene til de to korteste sidene med kvadratet til den lengste siden. Hva ser du?

Vi ser at 25=9+16. Det er det samme som a2=b2+c2.

Det viser seg at denne sammenhengen gjelder for alle trekanter som har en vinkel på 90°.

Rettvinklet trekant med sider som også er sider i tre kvadrater. Kvadratet med side a har areal a opphøyd i andre er lik 3 opphøyd i andre er lik 9. Kvadratet med side b har areal b opphøyd i andre er lik 4 opphøyd i andre er lik 16. Kvadratet med side c har areal c opphøyd i andre er lik 5 opphøyd i andre er lik 25. Illustrasjon.

For å kunne formulere denne sammenhengen med ord gir vi navn på sidene i rettvinklede trekanter.

Den lengste siden i en rettvinklet trekant kaller vi hypotenus. De to korteste sidene kaller vi kateter.

Pytagoras' setning:

hypotenus2 = katet2 + katet2

a2=b2+c2

Rettvinklet trekant med sidene a, b og c der a og b er kateter og c er hypotenusen. Illustrasjon.

Legg merke til navnsettingen. Vi bruker store bokstaver som navn på punkter eller hjørner i trekanten. Små bokstaver brukes som navn og måltall for sidelengdene. Det er vanlig at vi har samme bokstav på hjørner og sider som står motsatt hverandre.

Geometrisk bevis for Pytagoras' setning

Hvitt kvadrat med et mindre grått kvadrat inni. Det grå kvadratet er plassert på en slik måte at sidene i kvadratet alle er hypotenuser i rettvinklede trekanter. Illustrasjon.

Lag et kvadrat med sidelengder a+b. Se figuren til høyre. Du kan for eksempel klippe ut av et stivt papir, eller du kan tegne i GeoGebra.

Del sidelengdene i to deler a og b, trekk linjer (klipp ut) som vist på figuren, og få på denne måten 4 like rettvinklede trekanter. Hypotenusen i trekantene kaller du c.

Kvadrat delt inn i et lite grått kvadrat, et større grått kvadrat og to hvite rektangler som begge består av to rettvinklede trekanter. Illustrasjon.

Det grå arealet er et kvadrat (hvorfor?) med sidelengde c og areal c2.

Flytt på trekantene inne i det store kvadratet som vist på neste figur. (I GeoGebra lager du ei ny tegning. Bruk rutenett.)

Arealet av de to store kvadratene er like store da sidelengdene er lik a+b .

Samlet areal til de 4 rettvinklede trekantene er like store i begge figurene.

Det må bety at det grå arealet i de to figurene er like stort, altså at a2=b2+c2. Dette er nettopp Pytagoras' setning for våre rettvinklede trekanter.

Sist oppdatert 16.11.2018
Skrevet av Olav Kristensen og Stein Aanensen

Læringsressurser

Pytagoras’ setning

Hva er kjernestoff og tilleggsstoff?