Pytagoras’ setning

Tegn en trekant som er rettvinklet og hvor de korteste sidene er 3 og 4 enheter lange. Figuren viser en slik trekant som er tegnet i GeoGebra. Mål den lengste siden. Blir denne 5 enheter lang?

Ta nå alle tre sidelengdene og multipliser dem med seg selv. Du får da kvadratet av sidelengdene.

Kvadratet av sidelengden $$a$$ er $$a^2=5^2=25$$

Kvadratet av sidelengden $$b$$ er $$b^2=3^2=9$$

Kvadratet av sidelengden $$c$$ er $$c^2=4^2=16$$

Sammenlign summen av kvadratene til de to korteste sidene med kvadratet til den lengste siden. Hva ser du?

Vi ser at $$25=9+16$$. Det er det samme som $$a^2=b^2+c^2$$.

Det viser seg at denne sammenhengen gjelder for alle trekanter som har en vinkel på 90°.

For å kunne formulere denne sammenhengen med ord, gir vi navn på sidene i rettvinklede trekanter.

Den lengste siden i en rettvinklet trekant kaller vi hypotenus. De to korteste sidene kaller vi kateter.

Pytagoras' setning:

hypotenus² = katet² + katet²

$$a^2=b^2+c^2$$

Legg merke til navnsettingen. Vi bruker store bokstaver som navn på punkter eller hjørner i trekanten. Små bokstaver brukes som navn og måltall for sidelengdene. Det er vanlig at vi har samme bokstav på hjørne og side som står motsatt hverandre.

Lag et kvadrat med sidelengder $$a+b$$. Se figuren til høyre. Du kan for eksempel klippe ut av et stivt papir, eller du kan tegne i GeoGebra.

Del sidelengdene i to deler $$a$$ og $$b$$, trekk linjer (klipp ut) som vist på figuren og få på denne måten 4 like rettvinklede trekanter. Hypotenusen i trekantene kaller du $$c$$.

Det lyseblå arealet er et kvadrat (hvorfor?) med sidelengde $$c$$ og areal $$c^2$$.

Flytt på trekantene inne i det store kvadratet som vist på neste figur. (I GeoGebra lager du en ny tegning. Bruk rutenett.)

Arealet av de to store kvadratene er like store da sidelengdene er lik $$a+b$$ .

Samlet areal til de 4 rettvinklede trekantene er like store i begge figurene.

Det må bety at det lyseblå arealet i de to figurene er like stort, altså at $$a^2=b^2+c^2$$ . Dette er nettopp Pytagoras' setning for våre rettvinklede trekanter.