Logaritmelikninger

Hvis vi finner at $$\lg x=2$$, og vår oppgave er å finne $$x$$, utnytter vi det faktum at hvis to uttrykk er like, så er 10 opphøyd i uttrykkene også like. Videre bruker vi definisjonen på logaritmer for å finne den ukjente.

Vi må også alltid huske at vi bare kan finne logaritmer til positive tall!

$$\begin{array}{rcl} \lg x& = & 2 \mathrm{Vi} \mathrm{ser} \mathrm{her} \mathrm{at} x \mathrm{må} \mathrm{v\ae re} \mathrm{større} \mathrm{enn} 0.\\ & & \\ {10}^{\lg x}& =& {10}^2 \mathrm{To} \mathrm{tierpotenser} \mathrm{med} \mathrm{like} \mathrm{eksponenter} \mathrm{er} \mathrm{like}.\\ & & \\ x& =& 100 \mathrm{Vi} \mathrm{bruker} \mathrm{definisjon} \mathrm{på} \mathrm{logaritme} \mathrm{og} \mathrm{forenkler} \mathrm{venstre} \mathrm{side}.\end{array}$$

Løsningen kan brukes siden 100 er større enn 0.

$$\begin{array}{rcl}\lg x^2+2\lg x-2& = & 0 x \mathrm{må} \mathrm{v\ae re} \mathrm{større} \mathrm{enn} 0. \\ & & \mathrm{Vi} \mathrm{bruker} \mathrm{tredje} \mathrm{logaritmesetning}. \\ 2\lg x+2\lg x& =& 2 \mathrm{Vi} \mathrm{samler} \mathrm{leddene} \mathrm{med} x \mathrm{på} \mathrm{venstre} \mathrm{side}.\\ & & \\ 4\lg x& =& 2 \mathrm{Vi} \mathrm{trekker} \mathrm{sammen}.\\ & & \\ \lg x& =& \frac{2}{4} \mathrm{Vi} \mathrm{dividerer} \mathrm{for} \mathrm{å} \mathrm{få} \lg x \mathrm{alene} \mathrm{på} \mathrm{venstre} \mathrm{side}.\\ & & \\ {10}^{\lg x}& =& {10}^{\frac{1}{2}} \mathrm{To} \mathrm{tierpotenser} \mathrm{med} \mathrm{like} \mathrm{eksponenter} \mathrm{er} \mathrm{like}.\\ & & \\ x& =& \sqrt{10} \mathrm{Vi} \mathrm{bruker} \mathrm{definisjonen} \mathrm{på} \mathrm{logaritme} \mathrm{og} \\ & & \mathrm{forenkler} \mathrm{på} \mathrm{venstre} \mathrm{side}. \end{array}$$

Løsningen kan brukes siden $$\sqrt{10}$$ er større enn 0.

$$\begin{array}{rcl}\lg \left(x+2\right)-\lg \left(2\right)& = & 2 x \mathrm{må} \mathrm{v\ae re} \mathrm{større} \mathrm{enn} -2.\\ & & \\ \lg \left(\frac{x+2}{2}\right)& =& 2 \mathrm{Vi} \mathrm{bruker} \mathrm{andre} \mathrm{logaritmesetning} "\mathrm{baklengs}". \\ & & \\ {10}^{\lg \left(\frac{x+2}{2}\right)}& =& {10}^2 \mathrm{To} \mathrm{tierpotenser} \mathrm{med} \mathrm{like} \mathrm{eksponenter} \mathrm{er} \mathrm{like}.\\ & & \\ \frac{x+2}{2}& =& {10}^2 \mathrm{Vi} \mathrm{bruker} \mathrm{definisjon} \mathrm{på} \mathrm{logaritme} \\ & & \mathrm{og} \mathrm{forenkler} \mathrm{venstre} \mathrm{side}. \\ x& =& 200-2\\ & & \\ x& =& 198\end{array}$$

Løsningen kan brukes siden $$198$$ er større enn $$-2$$.

$$\begin{array}{rcl}\lg x+\lg \left(5-x\right)& = & \lg 6 x \mathrm{må} \mathrm{v\ae re} \mathrm{større} \mathrm{enn} 0 \mathrm{og} \mathrm{mindre} \mathrm{enn} 5.\\ & & \\ \lg \left(x·\left(5-x\right)\right)& =& \mathrm{lg6} \mathrm{Vi} \mathrm{bruker} \mathrm{første} \mathrm{logaritmesetning} "\mathrm{baklengs}".\\ & & \\ {10}^{\lg \left(x·\left(5-x\right)\right)}& =& {10}^{\mathrm{lg6}} \mathrm{To} \mathrm{tierpotenser} \mathrm{med} \mathrm{like} \mathrm{eksponenter} \mathrm{er} \mathrm{like}.\\ & & \\ x·\left(5-x\right)& =& 6 \mathrm{Vi} \mathrm{bruker} \mathrm{definisjonen} \mathrm{på} \mathrm{logaritme}\\ & & \mathrm{og} \mathrm{forenkler} \mathrm{venstre} \mathrm{side}.\\ 5x-x^2& =& 6\\ & & \\ -x^2+5x-6& =& 0\\ & & \\ x& =& \frac{-5\pm \sqrt{25-24}}{-2}\\ & & \\ x_1& =& 2 , x_2=3\end{array}$$

Begge løsningene kan brukes siden begge ligger mellom 0 og 5.