Hopp til innhold

Fagartikkel

Eksponentiallikninger

Likninger med potensuttrykk der eksponenten er ukjent, kalles eksponentiallikninger. Vi kan bruke logaritmesetningen til å løse slike likninger.

LK06

Gitt eksponentiallikningen

ax=b

Siden logaritmen til to like tall er like, er

lgax=lgb

Tredje logaritmesetningen gir da at

xlga=lgb

Det gir løsningen på eksponentiallikningen

x=lgblga

Eksempel 1

Vi skal løse likningen

23x-1=16

Vi løser slike likninger ved å bruke logaritmesetninger.

23x-1  =  16lg(23x-1)=lg16              Når to tall er like, er også logaritmen til tallene like.  (3x-1)lg2=lg24              Tredje logaritmesetning  3x-1=4lg2lg2            Husk at lg2 er et tall3x=5x=53


Tusenlapper

Hvor lenge må pengene stå i banken før beløpet er fordoblet?


Eksempel 2

Anne har plassert 1000 kroner på en konto i banken. Renten er 6,0 % per år. Hvor lenge må pengene stå i banken før beløpet er fordoblet?

Vi finner vekstfaktoren.

1+6100=1,06

Vi kan da sette opp følgende likning der x er tiden pengene må stå i banken.

1000·1,06x=2·1000

Vi forsøker å løse likningen ved å bruke logaritmesetningene.


1000·1,06x  =  2·10001,06x=200010001,06x=2lg1,06x=lg2    x·lg1,06=lg2 x=lg2lg1,06

Når en størrelse øker med p prosent, er vekstfaktoren  1+p100.

Her må vi bruke et digitalt verktøy, eller en logaritmetabell, for å få en tilnærmet verdi. I praktiske oppgaver løser vi derfor eksponentiallikninger i et CAS-verktøy.

Ved CAS i GeoGebra får vi

1000·1.06x=2·10001NLøs:  {x=11.9}

Bilde koordinatsystemet

Pengene må altså stå ca. 12 år i banken før beløpet er fordoblet.

Vi kan også løse likningen grafisk. Se koordinatsystemet til høyre. Her har vi tegnet grafen til funksjonen f gitt ved

f(x)=1000·1,06x

og løst likningen

f(x)=2000

grafisk.

Eksempel 3

Vi antar at innbyggertallet i Småby vokser med 1,5 % hvert år. Det bor i dag 13 000 personer i Småby. Hvor mange år går det før innbyggertallet er 15 000?

Vi finner vekstfaktoren

1+1,5100=1,015

Vi kan sette opp og løse følgende likning, som vi løser ved CAS i GeoGebra.

13000·1.015x=150001NLøs:  {x=9.611}

Innbyggertallet vil være 15 000 om snaue 10 år.

Eksempel 4

bruktbiler

Hvor mange år vil det gå før bilens verdi er halvert?

Kari kjøper en fire år gammel bil for 200 000 kroner. Bilen har sunket i verdi med 10 % hvert år siden den var ny, og Kari regner med at denne verdireduksjonen vil fortsette de neste årene.

Vekstfaktoren blir

1-10100=0,90

Bilens verdi, V(x), x år etter at Kari kjøpte den, er da gitt ved

V(x)=200 000·0,90x

Av grafen til V kan vil lese at bilens verdi vil ha sunket til 100 000 kroner etter 6,6 år.

Avlesning på grafen viser også at bilens verdi for 4 år siden, altså da den var ny, var nærmere 305 000 kroner.

Når en størrelse avtar med p prosent, er vekstfaktoren  1-p100.

Koordinatsystem

Vi skal også se hvordan vi kan regne ut dette.

Vi regner først ut hvor lang tid det går før bilens verdi har sunket til 100 000 kroner.

200000·0.9x=1000001NLøs:  {x=6.58}

Dette var det samme som vi fant grafisk.

Så regner vi ut hvor mye bilen var verdt for 4 år siden.

200000·0.9-42 304831.6}

I eksempel 5 skal vi se litt på en annerledes eksponentiallikning.

Eksempel 5

     2·3x = 3·4xlg(2·3x)= lg(3·4xlg2+lg3x=lg3+lg4xlg2+x·lg3=lg3+x·lg4x·lg3-x·lg4=lg3-lg2x(lg3-lg4)=lg3-lg x=lg3-lg2lg3-lg4

Vi har her gitt svaret på eksakt form. Det kan ofte være greit når vi arbeider med teoretiske problemstillinger. På Del 1 av en prøve eller eksamen må du av og til oppgi svar på eksakt form fordi du ikke kan regne ut en tilnærmingsverdi uten bruk av digitalt verktøy. I praktiske oppgaver er det vanlig å bruke tilnærmingsverdier.

Eksempel 6

Av og til får du bruk for å løse likninger hvor det er flere ledd med potensuttrykk, som for eksempel

32x-4·3x-12=0

Hva slags likning er dette? Her må vi tenke oss litt om.

Vi ser at i likningen inngår både 3 opphøyd i 2x og 3 opphøyd i x . Fra potensregningen vet du at  32x=(3x)2. Vi kaller nå 3x for u , og likningen vår blir slik

(3x)2-4·3x-12 = 0u2-4·u-12=0

Nå ser vi at vi har en andregradslikning med u som den ukjente.

Andregradslikningen har løsningen

u2-4·u-12 = 0u=-4±-4)2-4·1·(-122·1=4±16+482=4±82u1=-2 ,    u2=6

Nå er det viktig at vi tenker litt igjen …

Vi begynte med å sette  3x=u. Når vi nå har funnet at  u=-2  eller  u=6, må det bety at  3x=-2  eller  3x=6.

Løsningen  3x=-2  gir ingen mening siden potensen alltid er positiv.

Løsningen blir  3x=6  x=lg6lg31,6

Også her kunne vi oppgitt svaret på eksakt form som  x=lg6lg3.

Merk at oppgaver av denne typen gjerne kan inngå i Del 1 av en prøve eller en eksamen.

Sist oppdatert 08.10.2018
Skrevet av Stein Aanensen og Olav Kristensen

Læringsressurser

Logaritmer

Fagstoff

Oppgaver og aktiviteter