Gitt eksponentiallikningen

$$a^x=b$$

Siden logaritmen til to like tall er like, er

$$\lg a^x=\lg b$$

Tredje logaritmesetningen gir da at

$$x\lg a=\lg b$$

Det gir løsningen på eksponentiallikningen

$$x=\frac{\lg b}{\lg a}$$

Vi skal løse likningen

$$2^{3x-1}=16$$

Vi løser slike likninger ved å bruke logaritmesetninger.

$$\begin{array}{rcl}{2}^{3x-1}& = & 16\\ & & \\ \lg \left(2^{3x-1}\right)& =& \lg 16 \mathrm{Når} \mathrm{to} \mathrm{tall} \mathrm{er} \mathrm{like}, \mathrm{er} \mathrm{også} \mathrm{logaritmen} \mathrm{til} \mathrm{tallene} \mathrm{like}. \\ & & \\ (3x-1)\lg 2& =& \lg 2^4 \mathrm{Tredje} \mathrm{logaritmesetning} \\ & & \\ 3x-1& =& \frac{4\cancel{\lg 2}}{\cancel{\lg 2}} \mathrm{Husk} \mathrm{at} \lg 2 \mathrm{er} \mathrm{et} \mathrm{tall}\\ & & \\ 3x& =& 5\\ & & \\ x& =& \frac{5}{3}\end{array}$$

Anne har plassert 1000 kroner på en konto i banken. Renten er 6,0 % per år. Hvor lenge må pengene stå i banken før beløpet er fordoblet?

Vi finner vekstfaktoren.

$$1+\frac{6}{100}=1,06$$

Vi kan da sette opp følgende likning der $$x$$ er tiden pengene må stå i banken.

$$1000·1,{06}^x=2·1000$$

Vi forsøker å løse likningen ved å bruke logaritmesetningene.

$$\begin{array}{rcl}1000·1,{06}^x& = & 2·1000\\ & & \\ 1,{06}^x& =& \frac{2000}{1000}\\ & & \\ 1,{06}^x& =& 2\\ & & \\ \lg 1,{06}^x& =& \lg 2 \\ & & \\ x·\lg 1,06& =& \lg 2 \\ & & \\ x& =& \frac{\lg 2}{\lg 1,06}\end{array}$$

Her må vi bruke et digitalt verktøy, eller en logaritmetabell, for å få en tilnærmet verdi. I praktiske oppgaver løser vi derfor eksponentiallikninger i et CAS-verktøy.

Ved CAS i GeoGebra får vi

$$\boxed{\begin{array}{rcl}& & 1000·1.{06}^{\mathrm{x}}=2·1000\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{x}=11.9\}\end{array}}$$

Pengene må altså stå ca. 12 år i banken før beløpet er fordoblet.

Vi kan også løse likningen grafisk. Se koordinatsystemet til høyre. Her har vi tegnet grafen til funksjonen $$f$$ gitt ved

$$f\left(x\right)=1000·1,{06}^x$$

og løst likningen

$$f\left(x\right)=2000$$

grafisk.

I eksempel 5 skal vi se litt på en annerledes eksponentiallikning.

$$\begin{array}{rcl} 2·3^x& = & 3·4^x\\ & & \\ \lg (2·3^x)& =& \left. \lg (3·4^x\right)\\ & & \\ \mathrm{lg2}+{\mathrm{lg3}}^x& =& \mathrm{lg3}+{\mathrm{lg4}}^x\\ & & \\ \mathrm{lg2}+x·\mathrm{lg3}& =& \mathrm{lg3}+x·\mathrm{lg4}\\ & & \\ x·\mathrm{lg3}-x·\mathrm{lg4}& =& \mathrm{lg3}-\mathrm{lg2}\\ & & \\ x(\lg 3-\lg 4)& =& \lg 3-\lg \\ & & \\ x& =& \frac{\mathrm{lg3}-\mathrm{lg2}}{\mathrm{lg3}-\mathrm{lg4}}\end{array}$$

Vi har her gitt svaret på eksakt form. Det kan ofte være greit når vi arbeider med teoretiske problemstillinger. På Del 1 av en prøve eller eksamen må du av og til oppgi svar på eksakt form fordi du ikke kan regne ut en tilnærmingsverdi uten bruk av digitalt verktøy. I praktiske oppgaver er det vanlig å bruke tilnærmingsverdier.

Av og til får du bruk for å løse likninger hvor det er flere ledd med potensuttrykk, som for eksempel

$$3^{2x}-4·3^x-12=0$$

Hva slags likning er dette? Her må vi tenke oss litt om.

Vi ser at i likningen inngår både 3 opphøyd i $$2x$$ og 3 opphøyd i $$x$$ . Fra potensregningen vet du at $$3^{2x}=(3^x{)}^2$$. Vi kaller nå $$3^x$$ for $$u$$ , og likningen vår blir slik

$$\begin{array}{rcl}(3^x{)}^2-4·3^x-12& = & 0\\ & & \\ u^2-4·u-12& =& 0\end{array}$$

Nå ser vi at vi har en andregradslikning med $$u$$ som den ukjente.

Andregradslikningen har løsningen

$$\begin{array}{rcl}{u}^2-4·u-12& = & 0\\ & & \\ u& =& \frac{-4\pm \sqrt{\left(-4{)}^2-4·1·(-12\right)}}{2·1}=\frac{4\pm \sqrt{16+48}}{2}=\frac{4\pm 8}{2}\\ & & \\ u_1& =& -2 , u_2=6\end{array}$$

Nå er det viktig at vi tenker litt igjen …

Vi begynte med å sette $$3^x=u$$. Når vi nå har funnet at $$u=-2$$ eller $$u=6$$, må det bety at $$3^x=-2$$ eller $$3^x=6$$.

Løsningen $$3^x=-2$$ gir ingen mening siden potensen alltid er positiv.

Løsningen blir $$3^x=6 \Rightarrow x=\frac{\mathrm{lg6}}{\mathrm{lg3}}\approx 1,6$$

Også her kunne vi oppgitt svaret på eksakt form som $$x=\frac{\mathrm{lg6}}{\mathrm{lg3}}$$.

Merk at oppgaver av denne typen gjerne kan inngå i Del 1 av en prøve eller en eksamen.