Logaritmesetningene

Det står ikke i kompetansemålene for matematikk S1 at du skal kunne utlede disse setningene. Bevisene for de to andre setningene kan du finne i algebrakapittelet for R1.

Uttrykk som inneholder logaritmer, kan ofte forenkles ved hjelp av logaritmesetningene. Studer eksemplet, og gjør deretter mange nok oppgaver til at du behersker teknikken.

Eksempel

Vi ønsker å skrive uttrykket $$\lg 4x+4\lg \frac{2}{x}-\lg x^3+2\lg \sqrt{x}$$ så enkelt som mulig. Siden logaritme bare er definert for positive tall, må vi her forutsette at $$x$$ er større enn null.

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{lg4}x+4\lg \left(\frac{2}{x}\right)-\lg x^3+2\lg \sqrt{x}& = & \mathrm{lg4}+\lg x+4\left(\mathrm{lg2}-\lg x\right)-3\lg x+2\lg x^{\frac{1}{2}}\\ & & \\ & =& {\mathrm{lg2}}^2+\lg x+4\mathrm{lg2}-4\lg x-3\lg x+2·\frac{1}{2}\lg x\\ & & \\ & =& 2\mathrm{lg2}+\lg x+4\mathrm{lg2}-4\lg x-3\lg x+\lg x\\ & & \\ & =& 6\lg 2-5\lg x \end{array}$$