Gitt ulikheten

$$x^2<5x-4$$

Vi ordner først ulikheten slik at vi får null på høyre side.

$$x^2-5x+4<0$$

Vi bruker så for eksemple abc-formelen og finner nullpunktene til uttrykket $$x^2-5x+4$$.

$$\begin{array}{rcl}{x}^2-5x+4 & = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-\left(-5\right)\pm \sqrt{{\left(-5\right)}^2-4·1·4}}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{5\pm \sqrt{9}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{5\pm 3}{2}\\ & & \\ x_1& =& 4 x_2=1\end{array}$$

Vi vet nå at utrykket $$x^2-5x+4$$ er lik 0 når $$x=1$$ og når $$x=4$$.
Det er bare for disse $$x$$ -verdiene at uttrykket kan skifte fortegn.

Det betyr at uttrykket enten er positivt eller negativt for alle $$x$$-verdier i hvert av de tre intervallene $$⟨\leftarrow , 1⟩,⟨1, 4⟩$$ og $$⟨4, \to ⟩$$. For å avgjøre om uttrykket er positivt eller negativt i hvert av intervallene, kan vi ta «stikkprøver» for en $$x$$-verdi i hvert intervall.

Vi vet at uttrykket kan faktoriseres slik at $$x^2-5x+4=\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$. Det er lettest å bruke det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene.

$$x^2-5x+4=\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

For $$x=0$$ får vi

$$\left(0-4\right)\left(0-1\right)=\left(-4\right)·\left(-1\right)$$ Uttrykket er positivt.

For $$x=2$$ får vi

$$\left(2-4\right)\left(2-1\right)=\left(-2\right)·\left(1\right)$$ Uttrykket er negativt.

For $$x=5$$ får vi

$$\left(5-4\right)\left(5-1\right)=\left(1\right)·\left(4\right)$$ Uttrykket er positivt.

Det er ikke nødvendig å regne ut verdien i parentesene. Det som betyr noe er fortegnene på parentesuttrykkene.

For å få en oversikt over situasjonen setter vi opp et såkalt fortegnsskjema. Se figuren nedenfor. Et fortegnsskjema består av en tallinje som viser $$x$$-verdiene, og en fortegnslinje som viser fortegnet til uttrykket i de aktuelle intervallene. Heltrukket linje markerer at uttrykket er positivt i dette tallintervallet og stiplet linje markerer at uttrykket er negativt. En "0" viser at uttrykket er lik null for denne $$x$$-verdien.

Vår oppgave var å finne ut for hvilke verdier av $$x$$ det stemte at $$x^2<5x-4$$. Det er det samme som å finne ut når $$x^2-5x+4<0$$. Ut fra fortegnslinjen er det nå lett å se løsningen på oppgaven.

Løsningen på oppgaven er at $$x$$ må ligge mellom $$1$$ og $$4$$. Dette kan vi skrive som et intervall slik:

$$x\in ⟨1, 4⟩$$.

Skrivemåten betyr "x er med i intervallet ⟨1, 4⟩", altså intervallet fra 1 til 4. Alternativt kan vi skrive svaret som en dobbel ulikhet:

$$1<x<4$$

Den doble ulikheten sier at x skal være større enn 1 og samtidig mindre enn 4.

Ved grafisk løsning tar vi utgangspunkt i den opprinnelige ulikheten.

Løsningen blir det intervallet på $$x$$-aksen der grafen til $$y=x^2$$ ligger under grafen til $$y=5x-4$$.

Ved CAS i GeoGebra skriver vi den opprinnelige ulikheten rett inn og bruker knappen $$\boxed{\underset{ }{\overset{ }{\mathrm{x}}}=}$$ . Da vil det se ut som vist nedenfor.

$$\boxed{\begin{array}{rcl}& & {\mathrm{x}}^2<5\mathrm{x}-4\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{Løs}: \{1<\mathrm{x}<4\}\end{array}}$$

Vi ser at GeoGebra skriver svaret som en dobbel ulikhet.

Vi kan også skrive ulikheten inn i kommandoen "Løs()".