Hopp til innhold

Fagartikkel

Ulikheter av 2. grad

Hvordan løser vi ulikheter av andre grad?

LK06

Gitt ulikheten

x2<5x-4

Vi ordner først ulikheten slik at vi får null på høyre side.

x2-5x+4<0

Vi bruker så for eksemple abc-formelen og finner nullpunktene til uttrykket  x2-5x+4.

x2-5x+4  =  0           x=--5±-52-4·1·42·1           x=5±92           x=5±32           x1=4   x2=1

Vi vet nå at utrykket  x2-5x+4  er lik 0 når  x=1  og når  x=4.
Det er bare for disse x -verdiene at uttrykket kan skifte fortegn.

Det betyr at uttrykket enten er positivt eller negativt for alle x-verdier i hvert av de tre intervallene , 1,1, 4 og 4, . For å avgjøre om uttrykket er positivt eller negativt i hvert av intervallene, kan vi ta «stikkprøver» for en x-verdi i hvert intervall.

Vi vet at uttrykket kan faktoriseres slik at  x2-5x+4=x-4x-1. Det er lettest å bruke det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene.

x2-5x+4=x-4x-1

For  x=0  får vi

0-40-1=-4·-1 Uttrykket er positivt.

For  x=2  får vi

2-42-1=-2·1 Uttrykket er negativt.

For  x=5  får vi

5-45-1=1·4 Uttrykket er positivt.

Det er ikke nødvendig å regne ut verdien i parentesene. Det som betyr noe er fortegnene på parentesuttrykkene.

For å få en oversikt over situasjonen setter vi opp et såkalt fortegnsskjema. Se figuren nedenfor. Et fortegnsskjema består av en tallinje som viser x-verdiene, og en fortegnslinje som viser fortegnet til uttrykket i de aktuelle intervallene. Heltrukket linje markerer at uttrykket er positivt i dette tallintervallet og stiplet linje markerer at uttrykket er negativt. En "0" viser at uttrykket er lik null for denne x-verdien.

Fortegnsskjema for x i andre minus 5 x pluss 4. Heltrukken linje fra minus uendelig til 1, stiplet linje videre til 4 og heltrukken linje videre til pluss uendelig. Illustrasjon.

Fortegnsskjema for x²– 5x + 4

Vår oppgave var å finne ut for hvilke verdier av x det stemte at  x2<5x-4. Det er det samme som å finne ut når  x2-5x+4<0. Ut fra fortegnslinjen er det nå lett å se løsningen på oppgaven.

Løsningen på oppgaven er at x må ligge mellom 1 og 4. Dette kan vi skrive som et intervall slik:

x1, 4.

Skrivemåten betyr "x er med i intervallet ⟨1, 4⟩", altså intervallet fra 1 til 4. Alternativt kan vi skrive svaret som en dobbel ulikhet:

1<x<4

Den doble ulikheten sier at x skal være større enn 1 og samtidig mindre enn 4.

Ved grafisk løsning tar vi utgangspunkt i den opprinnelige ulikheten.

Skjæringspunktene 1 1 og 4 16 mellom grafen til funksjonen x i andre og grafen til funksjonen 5 x minus 4. Illustrasjon.

Grafisk løsning av andregradsulikhet

Løsningen blir det intervallet på x-aksen der grafen til  y=x2  ligger under grafen til  y=5x-4.

Ved CAS i GeoGebra skriver vi den opprinnelige ulikheten rett inn og bruker knappen x  = . Da vil det se ut som vist nedenfor.

x2<5x-41Løs:  {1<x<4}

Vi ser at GeoGebra skriver svaret som en dobbel ulikhet.

Vi kan også skrive ulikheten inn i kommandoen "Løs()".

Sist oppdatert 27.08.2019
Skrevet av Stein Aanensen og Olav Kristensen

Læringsressurser

Ulikheter

Fagstoff

Oppgaver og aktiviteter