Hopp til innhold

Fagartikkel

Likningssett av første og andre grad

Vi kan bruke de samme metodene for å løse likningssett der den ene likningen er av andre grad som vi gjør når begge likningene er av første grad.

LK06

Når vi løser likningssett med to likninger av første grad, kan vi bruke innsettingsmetoden. Denne metoden kan vi også bruke her. Det lureste er da ofte å finne et uttrykk for den ene ukjente ved hjelp av førstegradslikningen, og så sette dette inn i andregradslikningen.

Eksempel

Vi har gitt likningssettet

12x2-2x-y=3x+y=1


Her er den første likningen av andre grad og den andre likningen av første grad. Vi bruker førstegradslikningen til å finne et uttrykk for y.

x+y = 1    y=1-x

Vi setter uttrykket inn for y inn i andregradslikningen (bruk parenteser for å unngå fortegnsfeil).

12x2-2x-y = 3x22-2x-1-x=3x22-2x-1+x=3x22-x-4=0x22·2-x·2-4·2=0·2x2-2x-8=0

Vi får en andregradslikning med én ukjent, og denne kan vi løse ved å bruke abc-formelen. Det er ikke nødvendig å multiplisere med to i likningen, men fordelen er at da slipper vi å sette inn brøker i formelen.

x = --2±-22-4·1·-82·1x=2±4+322x=2±362x=2±62x=-2   eller   x=4

Grafisk løsning av likningssettet  som inneholder likningene en halv x i andre minus 2 x minus y = 3 og x pluss y = 1 med markering av skjæringspunktene (minus 2, 3) og (4, minus 3). Illustrasjon.

Vi setter disse løsningene inn i uttrykket for y.

y = 1-xy1=1--2=1+2=3y2=1-4=-3

Likningssettet har to sett med løsninger.

x = -2   og   y=3x=4     og    y=-3

I figuren vises den grafiske løsningen av likningssettet der vi har tegnet grafen til de to likningene og funnet skjæringspunktene. Vi får det samme resultatet som ved manuell regning.

Likningssett av første og andre grad i GeoGebra. Foto

Ved CAS i GeoGebra skriver vi inn likningene på hver sin linje, markerer dem og trykker på knappen "Løs" x  =.

Eksempel

Vi har gitt likningssettet

2x2-2x-y2=82x-y=-2

Vi bruker førstegradslikningen til å finne et uttrykk for y.

2x-y = -2-y=-2-2xy=2x+2

Vi setter så uttrykket for y inn i andregradslikningen.

2x2-2x-y2 = 82x2-2x-(2x+2)2=82x2-2x-(4x2+8x+4)=82x2-2x-4x2-8x-4=8-2x2-10x-12=0         | :-2x2+5x+6=0

Legg merke til at vi her dividerer med -2 i siste linje for å få greiere tall å arbeide med når vi skal bruke abc-formelen.

Vi bruker abc-formelen til å løse denne likningen.

x = -5±52-4·1·62·1x=-5±25-242x=-5±12x=-2   eller   x=-3

Vi setter så disse løsningene inn i uttrykket for y.

y = 2x+2y1=2·(-2)+2=-2y2=2·(-3)+2=-4

Likningssettet har to sett med løsninger.

x=-2    y=-2        x=-3    y=-4

Husk at betyr "og" mens betyr "eller".

Likningssett av første og andre grad i GeoGebra 2

Ved CAS i GeoGebra får vi samme løsning.

Sist oppdatert 08.10.2018
Skrevet av Olav Kristensen og Stein Aanensen

Læringsressurser

Andregradslikninger