$$\begin{array}{rcl}{x}^2+7x+6& = & 0\\ x& =& \frac{-7\pm \sqrt{7^2-4·1·6}}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{-7\pm \sqrt{49-24}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{-7\pm \sqrt{25}}{2}\\ & & \\ x_1& =& \frac{-7+5}{2}=-1 eller x_2=\frac{-7-5}{2}=-6\end{array}$$

$$\begin{array}{rcl}{x}^2+5x+6& = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-5\pm \sqrt{5^2}-4·1·6}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{-5\pm \sqrt{25-24}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{-5+\sqrt{1}}{2}\\ & & \\ x_1& =& \frac{-5+1}{2}=-2 eller x_2=\frac{-5-1}{2}=-3\end{array}$$

$$\begin{array}{rcl}{x}^2-2x-24& = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-\left(-2\right)\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·1·\left(-24\right)}}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{2\pm \sqrt{4+96}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{2\pm \sqrt{100}}{2}\\ & & \\ x_1& =& \frac{2+10}{2}=6 eller x_2=\frac{2-10}{2}=-4\end{array}$$

Her er det lurt å dividere alle ledd med 3 før vi setter inn i abc-formelen.

Vi får da

$$\begin{array}{rcl}{x}^2-x-2& = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-\left(-1\right)\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-2\right)}}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{1\pm \sqrt{1+8}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{1\pm \sqrt{9}}{2}\\ & & \\ x_1& =& \frac{1+3}{2}=2 eller x_2=\frac{1-3}{2}=-1\end{array}$$

Her er det lurt å dividere alle ledd med -2 før vi setter inn i abc-formelen.

Vi får da

$$\begin{array}{rcl}{x}^2-x-2& = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-\left(-1\right)\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-2\right)}}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{1\pm \sqrt{1+8}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{1\pm \sqrt{9}}{2}\\ & & \\ x_1& =& \frac{1+3}{2}=2 eller x_2=\frac{1-3}{2}=-1\end{array}$$

$$\begin{array}{rcl}-x^2-5x-6& = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-\left(-5\right)\pm \sqrt{{\left(-5\right)}^2-4·\left(-1\right)·\left(-6\right)}}{2·\left(-1\right)}\\ & & \\ x& =& \frac{5\pm \sqrt{25-24}}{-2}\\ & & \\ x& =& \frac{5\pm \sqrt{1}}{-2}\\ & & \\ x_1& =& \frac{5+1}{-2}=-3 eller x_2=\frac{5-1}{-2}=-2\end{array}$$

$$\begin{array}{rcl}-x^2-6x-8& = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-\left(-6\right)\pm \sqrt{{\left(-6\right)}^2-4·\left(-1\right)·\left(-8\right)}}{2·\left(-1\right)}\\ & & \\ x& =& \frac{6\pm \sqrt{36-32}}{-2}\\ & & \\ x& =& \frac{6\pm \sqrt{4}}{-2}\\ & & \\ x_1& =& \frac{6+2}{-2}=-4 eller x_2=\frac{6-2}{-2}=-2\end{array}$$

Her er det lurt å dividere alle ledd med 3 før vi setter inn i abc-formelen.

Vi får da

$$\begin{array}{rcl}{x}^2+4x+4& = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-4\pm \sqrt{4^2-4·1·4}}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{-4\pm \sqrt{16-16}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{-4\pm \sqrt{0}}{2}\\ & & \\ x_1& =& x_2=\frac{-4}{2}=-2\end{array}$$

$$\begin{array}{rcl}x& = & \frac{-\left(-2\right)\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·3·2}}{2·3}\\ & & \\ x& =& \frac{2\pm \sqrt{4-24}}{6}\\ & & \\ x& =& \frac{2\pm \sqrt{-20}}{6}\\ & & \\ & & Ingen løsning\\ & & (Negativt tall under rottegnet.)\hspace{0.17em}\end{array}$$

Her er det lurt å dividere alle ledd med 270 før vi setter inn i abc-formelen.

Vi får da

$$\begin{array}{rcl}270x^2+270x-540& = & 0 \overline{):270}\\ & & \\ x^2+x-2& =& 0\\ & & \\ x& =& \frac{-1\pm \sqrt{1^2-4·1·\left(-2\right)}}{2·1}\\ & & \\ x_1& =& \frac{-1-3}{2}=-2 eller x_2=\frac{-1+3}{2}=1\end{array}$$

Her er det lurt å dividere alle ledd med 90 før vi setter inn i abc-formelen.

Vi får da

$$\begin{array}{rcl}360x^2-360x+90& = & 0 \overline{):90}\\ & & \\ 4x^2-4x+1& =& 0\\ & & \\ x& =& \frac{4\pm \sqrt{{\left(-4\right)}^2-4·4·1}}{2·4}\\ & & \\ x_1& =& \frac{4+0}{8} eller x_2=\frac{4-0}{8}\\ & & \\ x_1& =& x_2=\frac{1}{2}\end{array}$$

Her er det lurt å multiplisere alle ledd med 10 før vi setter inn i abc-formelen.

Vi får da

$$\begin{array}{rcl}0,3x^2-0,2x+0,2& = & 0 \overline{)·10}\\ & & \\ 3x^2-3x+2& =& 0\\ & & \\ x& =& \frac{2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·3·2}}{2·3}\\ & & \\ x& =& \frac{2\pm \sqrt{4-24}}{6}\\ & & \\ x& =& \frac{2\pm \sqrt{-20}}{6}\\ & & Ingen løsning\\ & & (Negativt tall under rottegnet.)\\ & & \end{array}$$

Her er det lurt å multiplisere alle ledd med 1000 før vi setter inn i abc-formelen.

Vi får da

$$\begin{array}{rcl}0,003x^2-0,002x+0,002& = & 0 \overline{)·1000}\\ & & \\ 3x^2-2x+2& =& 0\\ & & \\ x& =& \frac{2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·3·2}}{2·3}\\ & & \\ x& =& \frac{2\pm \sqrt{4-24}}{6}\\ & & \\ x& =& \frac{2\pm \sqrt{-20}}{6}\\ & & \\ & & Ingen løsning\\ & & (Negativt tall under rottegnet.)\hspace{0.17em}\end{array}$$

$$\begin{array}{rcl}x& =& \frac{-\left(-4\right)\pm \sqrt{{\left(-4\right)}^2-4·1·2}}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{4\pm \sqrt{8}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{4+2\sqrt{2}}{2} eller x=\frac{4-2\sqrt{2}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{2\left(2+\sqrt{2}\right)}{2} eller x=\frac{2\left(2-\sqrt{2}\right)}{2}\\ & & \\ x_1& =& 2+\sqrt{2} eller x_2=2-\sqrt{2}\end{array}$$

Her er det lurt å dividere alle ledd med 2 før vi setter inn i abc-formelen.

Vi får da

$$\begin{array}{rcl}5x^2-5x-2& = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-\left(-5\right)\pm \sqrt{{\left(-5\right)}^2-4·5·\left(-2\right)}}{2·5}\\ & & \\ x& =& \frac{5\pm \sqrt{65}}{10}\\ & & \\ x_1& =& \frac{5+\sqrt{65}}{10} eller x_2=\frac{5-\sqrt{65}}{10}\end{array}$$

$$\begin{array}{rcl}{x}^2-2x+2-4+4x& = & 0\\ & & \\ x^2+2x-2& =& 0\\ & & \\ x& =& \frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·1·\left(-2\right)}}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{-2\pm \sqrt{12}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{-2\pm 2\sqrt{3}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{2\left(-1+\sqrt{3}\right)}{2} eller x=\frac{2\left(-1-\sqrt{3}\right)}{2}\\ & & \\ x_1& =& \sqrt{3}-1 eller x_2=-1-\sqrt{3}\end{array}$$

$$\begin{array}{rcl} 4-2x+x^2& = & 3x-3+2x^2\\ & & \\ x^2-2x^2-2x-3x+4+3& =& 0\\ & & \\ -x^2-5x+7& =& 0\\ & & \\ x& =& \frac{-\left(-5\right)\pm \sqrt{{\left(-5\right)}^2-4·\left(-1\right)·7}}{2·\left(-1\right)}\\ & & \\ x& =& \frac{5\pm \sqrt{25+28}}{-2}\\ & & \\ x& =& \frac{5\pm \sqrt{53}}{-2}\\ & & \\ x_1& =& -\frac{5+\sqrt{53}}{2} eller x_2=-\frac{5-\sqrt{53}}{2 }\end{array}$$

$$\begin{array}{rcl} 4x^2-6x+2x^2+11x& = & 3x+3-2x^2\\ & & \\ 4x^2-2x^2+2x^2-6x+11x-3x-3& =& 0\\ & & \\ 8x^2+2x-3& =& 0\\ & & \\ x& =& \frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·8·\left(-3\right)}}{2·8}\\ & & \\ x& =& \frac{-2\pm \sqrt{100}}{2·8}\\ & & \\ x& =& \frac{-2\pm 10}{2·8}\\ & & \\ x_1& =& -\frac{3}{4} eller x_2=\frac{1}{2}\end{array}$$

Vi setter opp en likning

$$\begin{array}{rcl}x·\left(x+4\right)& = & 96\\ & & \\ x^2+4x-96& =& 0\\ & & \\ x& =& \frac{-4\pm \sqrt{4^2-4·1·\left(-96\right)}}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{-4\pm \sqrt{400}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{-4\pm 20}{2}\\ & & \\ x_1& =& 8 eller x_2=-12\end{array}$$

Her bruker vi bare den positive løsningen.

$$x+4=12$$

Huset er 12 m langt og 8 m bredt.

Vi setter opp en likning

$$\begin{array}{rcl} x·\left(x-5\right)& = & 126\\ & & \\ x^2-5x-126& =& 0\\ & & \\ x& =& \frac{5\pm \sqrt{5^2}-4·1·\left(-126\right)}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{5\pm \sqrt{529}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{5\pm 23}{2}\\ & & \\ x_1& =& 14 eller x_2=-9\\ & & \end{array}$$

Her bruker vi bare den positive løsningen.

$$14-5=9$$

Huset er 14 m langt og 9 m bredt.

$$\begin{array}{rcl}{x}^2+{\left(x+2\right)}^2& = & {10}^2\\ & & \\ x^2+x^2+4x+4-100& =& 0\\ & & \\ 2x^2+4x-96& =& 0\end{array}$$

Her er det lurt å dividere alle ledd med 2 for å få lettere tall å sette inn i abc-formelen.

Vi får da

$$\begin{array}{rcl}{x}^2-2x-48& = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·1·\left(-48\right)}}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{-2\pm \sqrt{196}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{-2\pm 14}{2}\\ & & \\ x_1& =& 6 eller x_2=-8\end{array}$$

Her bruker vi bare den positive løsningen.

$$6+2=8$$

Garasjen er 8 m lang og 6 m bred.

Vi må først finne lengden av sidene.

Vi setter opp en likning

$$\begin{array}{rcl} x^2+{\left(x+10\right)}^2& = & {50}^2\\ & & \\ x^2+x^2+20x+100-2500& =& 0\\ & & \\ 2x^2+20x-2400& =& 0\\ & & \end{array}$$

Her er det lurt å dividere alle ledd med 2 for å få lettere tall å sette inn i abc-formelen.

Vi får da

$$\begin{array}{rcl}{x}^2+10x-1200& = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-10\pm \sqrt{{10}^2-4·1·\left(-1200\right)}}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{-10\pm \sqrt{4900}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{-10\pm 70}{2}\\ & & \\ x_1& =& 30 eller x_2=-40\end{array}$$

Her bruker vi bare den positive løsningen.

$$30+10=40$$

Sidelengdene blir 30 m o g 40 m.

Arealet blir da $$30 \mathrm{m}·40 \mathrm{m}=1200 {\mathrm{m}}^2$$

$$\begin{array}{rcl}x& = & \frac{-\left(-4\right)\pm \sqrt{{\left(-4\right)}^2-4·a·4}}{2·a}\\ & & \\ x& =& \frac{4\pm \sqrt{16-16a}}{2a}\end{array}$$

Vi ser på uttrykket under rottegnet, $$16-16a$$.

Dersom $$a>1$$ vil uttrykket under rottegnet bli negativt, og vi har ingen løsning.

Dersom $$a=1$$ vil uttrykket under rottegnet bli lik 0, og vi får én løsning, $$x=\frac{4}{2·1}=2$$.

Dersom $$a<1$$ vil uttrykket under rottegnet bli positivt, og vi har to løsninger.

$$\begin{array}{rcl}x& = & \frac{-\left(-b\right)\pm \sqrt{{\left(-b\right)}^2-4·1·4}}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{b\pm \sqrt{b^2-16}}{2}\end{array}$$

Vi ser på uttrykket under rottegnet, $$b^2-16$$.

Dersom $$b^2<16$$ vil uttrykket under rottegnet bli negativt, og vi har ingen løsning.

Dette vil skje når $$b$$ ligger mellom $$-4$$ og $$4$$.

Dersom $$b^2=16$$, dvs når $$b=4$$ eller $$b=-4$$ vil uttrykket under rottegnet bli lik 0, og vi får én løsning, $$x=\frac{4}{2·1}=2 eller x=\frac{-4}{2·1}=-2.$$

Dersom $$b^2>16$$ dvs når $$b>4$$ eller $$b<-4$$, vil uttrykket under rottegnet bli positivt, og vi har to løsninger.

Vi setter inn 10 m for høyden $$h$$ og får: $$10=14,5t-4,9t^2+1,8$$

Vi løser likningen i GeoGebra: 10=14.5t-4.9t²+1.8

$$t_1=0,76 eller t_2=2,2$$

Ballen er 10 m over bakken etter 0,76 s (på vei opp) og etter 2,2 s (på vei ned).

Når ballen treffer bakken, er høyden over bakken 0 m.

Vi setter inn 0 m for høyden $$h$$ og får

$$0=14,5t-4,9t^2+1,8$$

Vi løser likningen i GeoGebra: 0=14.5t-4.9t²+1.8

$$t=-0,12 eller t=3,08$$

Vi kan bare bruke den positive løsningen.

Ballen treffer bakken etter 3,08 s.

Vi setter inn 15 m for høyden $$h$$ og får

$$15=14,5t-4,9t^2+1,8$$

Vi løser likningen i GeoGebra: 15=14.5t-4.9t²+1.8

Ingen løsning. Ballen når aldri en høyde på 15 m over bakken.

Vi setter inn formelen og får

$$\begin{gathered} 250=2{\mathrm{\pi r}}^2+2\mathrm{\pi r}·5 \\ 250=2{\mathrm{\pi r}}^2+10\mathrm{\pi r} \end{gathered}$$

Vi løser likningen i GeoGebra: 250=2*pi*r²+10*pi*r

$$r_1\approx 4,29 eller r_2\approx -9,29$$

Vi kan bare bruke den positive løsningen.

Brusboksen har en radius på 4,29 cm.