Addisjon og subtraksjon av brøker

Når vi for eksempel legger sammen 3 meter, 2 meter og 4 meter, verdier med samme benevning, trenger vi ikke å foreta oss noe før vi legger sammen. Vi får enkelt og greit 9 meter som svar:

$$3 \mathrm{m}+2 \mathrm{m}+4 \mathrm{m}=9 \mathrm{m}$$

På samme måte kan vi trekke sammen 4 tredeler, 1 tredel og 2 tredeler direkte til 7 tredeler:

$$\frac{4}{3}+\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=\frac{7}{3}$$

Utviding av brøker

Hvis vi skal legge sammen $$3 \mathrm{cm}+2 \mathrm{m}+4 \mathrm{dm}$$, må vi først finne en felles benevning. Deretter kan vi legge sammen.

Vi må tenke på samme måte når vi legger sammen 3 halve + 2 tredjedeler + 1 femdel. Vi må først finne en felles nevner (eller benevning).

Hva må vi gjøre for å regne ut $$\frac{3}{2}+\frac{2}{3}+\frac{1}{5}$$?

Vi velger å la fellesnevneren for 2, 3 og 5 være det minste tallet som disse tallene går opp i, altså $$2·3·5=30.$$

Hver av brøkene skal altså skrives med nevner 30, men skal fortsatt ha samme verdi.

En brøk endrer ikke verdi når vi multipliserer med samme tall i teller og nevner.

Det kan vi illustrere ved å se på arealet av en sirkel.

Vi ser av figuren at halvparten av arealet til sirkelen er lik summen av 2 firedeler, $$\frac{1}{2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}$$. Men siden $$\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{2}{4}$$, får vi at $$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$$.

Det er nettopp det vi får når vi multipliserer brøken $$\frac{1}{2}$$ med 2 i teller og nevner.

$$\frac{1}{2}=\frac{1·2}{2·2}=\frac{2}{4}$$

Vi kaller denne handlingen å utvide en brøk.

I dagligtale er å utvide det samme som "å gjøre større", men i brøkregning har ordet utvide altså en annen betydning. Egentlig burde vi heller funnet et uttrykk som tilsvarer det engelske. På engelsk brukes «rename». Brøken får et annet navn, men den er like mye verd.

Vi utvider brøkene

$$\begin{array}{rcl}\frac{3}{2}& = & \frac{3·15}{2·15}=\frac{45}{30}\\ & & \\ \frac{2}{3}& =& \frac{2·10}{3·10}=\frac{20}{30}\\ & & \\ \frac{1}{5}& =& \frac{1·6}{5·6}=\frac{6}{30}\end{array}$$

Til slutt legger vi sammen og får

$$\frac{3}{2}+\frac{2}{3}+\frac{1}{5}=\frac{45}{30}+\frac{20}{30}+\frac{6}{30}=\frac{45+20+6}{30}=\frac{71}{30}$$

En brøk der teller er større en nevner, kaller vi en uekte brøk. En uekte brøk kan gjøres om til et blandet tall.

Vi får at

$$\frac{71}{30}=\frac{60}{30}+\frac{11}{30}=2+\frac{11}{30}=2\frac{11}{30}$$ som betyr $$2+\frac{11}{30}$$

Det er viktig at du ikke mekaniserer brøkregningen din. Kanskje du tidligere har gjort om det blandede tallet $$2\frac{11}{30}$$ til uekte brøk uten å være bevisst at et blandet tall er et helt tall pluss en brøk.

Forkorting av brøker

Vi har at $$\frac{6}{30}=\frac{6:6}{30:6}=\frac{1}{5}$$.

Vi skjønner at vi kan dividere med samme tall i teller og nevner uten at brøken endrer verdi. Vi kaller denne handlingen å forkorte en brøk.

I dagligtale er å forkorte det samme som "å gjøre kortere eller mindre", men i brøkregning har ordet forkorte en annen betydning. Her kunne vi også med fordel funnet et uttrykk som tilsvarer det engelske «simplify». Vi forenkler brøken, den er like mye verd.

Eksempel

$$\begin{array}{rcl}\frac{1}{2}+3-\frac{2}{3}+\frac{5}{9}& = & \frac{1}{2}+\frac{3}{1}-\frac{2}{3}+\frac{5}{9}\\ & & \\ & =& \frac{1·9}{2·9}+\frac{3·18}{1·18}-\frac{2·6}{3·6}+\frac{5·2}{9·2}\\ & & \\ & =& \frac{9}{18}+\frac{54}{18}-\frac{12}{18}+\frac{10}{18}\\ & & \\ & =& \frac{9+54-12+10}{18}\\ & & \\ & =& \frac{61}{18}\end{array}$$

Her kan vi ikke forkorte brøken siden 61 og 18 ikke har noen felles faktor.