Regneregler for potenser

Vi kan regne på følgende måte med potenser:

$$3^4·3^5=\underset{4 \mathrm{ganger}}{\underbrace{3·3·3·3}}·\underset{5 \mathrm{ganger}}{\underbrace{3·3·3·3·3}}=3^9$$

Vi ser at

$$3^4·3^5=3^{4+5}=3^9$$

Tilsvarende gjelder når vi dividerer potenser på hverandre:

$$\frac{3^6}{3^2}=\frac{3·3·3·3·\cancel{3}·\cancel{3}}{\cancel{3}·\cancel{3}}=3^4$$

Vi ser at

$$\frac{3^6}{3^2}=3^{6-2}=3^4$$

Hvordan blir utregningen hvis potensen i nevneren har større eksponent enn potensen i telleren?

Vi bytter om på potensene i eksemplet ovenfor. Ved vanlig brøkregning får vi

$$\frac{3^2}{3^6}=\frac{\cancel{3}·\cancel{3}}{3·3·3·3·\cancel{3}·\cancel{3}}=\frac{1}{3^4}$$

Ved å bruke regneregelen for potenser får vi

$$\frac{3^2}{3^6}=3^{2-6}=3^{-4}$$

Vi ønsker at regneregel 2 for potenser også skal gjelde i slike tilfeller. Det betyr at $$\frac{1}{3^4}$$ og $$3^{-4}$$ må være det samme tallet.

Hva så hvis potensene i teller og nevner har like eksponenter? Vi ser på et eksempel.

Ved vanlig brøkregning får vi

$$\frac{3^2}{3^2}=\frac{\cancel{3}·\cancel{3}}{\cancel{3}·\cancel{3}}=\frac{1}{1}=1$$

Ved å bruke regneregel 2, får vi

$$\frac{3^2}{3^2}=3^{2-2}=3^0$$

Vi ønsker også her at regnereglene for potenser skal gjelde. Det betyr at $$3^0$$ må være lik tallet 1.

Med disse to nye definisjonene gjelder regneregel 1 og 2 for alle heltallige eksponenter, også når $$m$$ ikke er større enn $$n$$.

Studer følgende regnestykker der definisjonen på potenser er brukt gjentatte ganger sammen med vanlige regneregler:

$$$ \begin{array}{rcl}{\left(2·3\right)}^4& = & \left(2·3\right)·\left(2·3\right)·\left(2·3\right)·\left(2·3\right)\\ & & \\ & =& 2·3·2·3·2·3·2·3\\ & & \\ & =& 2·2·2·2·3·3·3·3\\ & & \\ & =& 2^4·3^4\\ & & \\ {\left(\frac{2}{3}\right)}^4& =& \left(\frac{2}{3}\right)·\left(\frac{2}{3}\right)·\left(\frac{2}{3}\right)·\left(\frac{2}{3}\right)\\ & & \\ & =& \frac{2}{3}·\frac{2}{3}·\frac{2}{3}·\frac{2}{3}\\ & & \\ & =& \frac{2·2·2·2}{3·3·3·3}\\ & & \\ & =& \frac{2^4}{3^4}\\ & & \\ {\left(2^3\right)}^4& =& \left(2^3\right)·\left(2^3\right)·\left(2^3\right)·\left(2^3\right)\\ & & \\ & =& (2·2·2)·(2·2·2)·\left(2·2·2\right)·\left(2·2·2\right)\\ & & \\ & =& 2^{12}\\ & & \\ & =& 2^{3·4}\end{array}$$$