Introduksjon

Kjenner du igjen denne typen oppgaver fra barneskolen?

Da du fant ut hvilket tall som skulle stå i den tomme ruta, løste du egentlig en likning. Du fant ut hva som måtte stå der for at det skulle bli likt på begge sider av likhetstegnet.

Hva er en likning?

En likning består av et likhetstegn og et uttrykk på hver side av likhetstegnet.

En likning inneholder vanligvis en ukjent størrelse, ofte kalt $x$ .

De enkleste likningene: lineære likninger

De enkleste likningene er såkalte lineære likninger. I lineære likninger har vi aldri potenser av $x$ , som for eksempel $x^{2}$ . Vi har heller ikke $x$ i nevneren på en brøk.

Et eksempel på en lineær likning er

$2 + x = 5$

Skålvekt med en myntstabel og en modell av et hus. Foto. — PantherMedia, NTB scanpix

Å løse en likning går ut på å finne ut hvilken verdi $x$ må ha for at uttrykkene på hver side av likhetstegnet skal være like. Det er altså det samme som du gjorde da du fant ut hvilket tall som skulle stå i den tomme ruta i oppgavene ovenfor.

I den lineære likningen over kan vi se at om vi bytter ut $x$ med tallet 3, blir uttrykkene på hver side av likhetstegnet like.

$\begin{array}{rcl} 2 + x & = & 5 \\ 2 + 3 & = & 5 \\ 5 & = & 5 \end{array}$

Da står tallet 5 på begge sider av likhetstegnet.

I de fleste likninger er det ikke så lett å se hvilket tall $x$ må være.
Se for eksempel på likningen

$2 x + 3 = x + 7$

Vi baserer løsningen av slike likninger på det at vi kan "tukle" med likningen så lenge vi gjør det samme på begge sider av likningen. Om vi for eksempel legger til eller trekker fra det samme tallet på begge sider av likhetstegnet, har uttrykkene på hver side fortsatt lik verdi.
Husk at $x$ står for et tall.

Vi trekker fra tallet 3 på begge sider av likhetstegnet:

$2 x + 3 - 3 = x + 7 - 3$

$3 - 3$ er lik null og kan fjernes fra venstresida.
$7 - 3$ på høyresida kan erstattes med tallet 4.

Likningen blir nå

$2 x = x + 4$

Vi trekker så fra tallet $x$ på begge sider av likhetstegnet:

$2 x - x = x - x + 4$

På høyresida er $x - x$ lik null og kan fjernes. På venstresida kan $2 x - x$ erstattes med $x$ . Likningen blir nå

$x = 4$

Da har vi jo funnet ut hva $x$ må være, og vi har løst likningen.

Vi kan sjekke om løsningen er riktig. Da bytter vi ut $x$ med tallet 4 i den opprinnelige likningen:

$\begin{array}{rcl} 2 x + 3 & = & x + 7 \\ 2 \cdot 4 + 3 & = & 4 + 7 \\ 11 & = & 11 \end{array}$

Vi ser at når $x = 4$ , er både venstresida og høyresida lik tallet 11, altså like store. Løsningen er riktig.

Noen ganger er vi ikke så heldige å få løsningen så enkelt som ovenfor. Vi kan for eksempel få

$3 x = 12$

Hvis to uttrykk er like, må de fortsatt være like om vi deler begge på det samme tallet.

Vi deler på 3 på begge sider av likhetstegnet:

$\frac{3 x}{3} = \frac{12}{3}$

3 delt på 3 er lik 1, og venstresida blir da lik 1 $x$ , som er det samme som $x$ . 12 delt på 3 er lik 4, og likningen blir

$x = 4$

Vi har dermed funnet løsningen.

Eksempel på enkel (lineær) likning

Vi tar med et eksempel til.

Løsning	Forklaring
$2 x - 4 = 4 x + 8$
$2 x - 4 - 4 x + 4 = 4 x + 8 - 4 x + 4$	Vi trekker fra $4 x$ og legger til 4 på begge sider.
$- 2 x = 12$	Vi trekker sammen.
$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{12}{- 2}$	Vi dividerer med $- 2$ på begge sider av likhetstegnet og forkorter.
$x = - 6$	Vi har funnet løsningen.

Eksempel på likning med brøk

Noen likninger inneholder brøker. Når vi løser likninger med brøker, baserer vi oss på at hvis to uttrykk er like, må de fortsatt være like om vi multipliserer (ganger) begge med det samme tallet.

Løsning	Forklaring
$\frac{x}{3} - 4 = - \frac{x}{2} + \frac{1}{6}$	Den minste fellesnevneren er 6.
$\frac{x \cdot \overset{2}{6}}{3} - 4 \cdot 6 = \frac{x \cdot \overset{3}{6}}{2} + \frac{1 \cdot 6}{6}$	Vi multipliserer hvert ledd med fellesnevneren og forkorter.
$2 x - 24 = - 3 x + 1$	Etter forkorting er alle brøker borte.
$2 x - 24 + 3 x + 24 = - 3 x + 1 + 3 x + 24$	Vi legger til $3 x$ og 24 på begge sider av likhetstegnet.
$2 x + 3 x = 1 + 24$	Vi har nå alle leddene som inneholder $x$ på den samme sida.
$5 x = 25$	Vi trekker sammen.
$\frac{5 x}{5} = \frac{25}{5}$	Vi dividerer med tallet før $x$ .
$x = 5$	Vi har funnet løsningen.

Noen likninger inneholder også parentesuttrykk. Da starter vi med å gange ut disse parentesuttrykkene.

Eksempel 1 på likning med parentes

$\begin{array}{rcl} 2 (x + 4) & = & 6 \\ 2 x + 8 & = & 6 \\ 2 x & = & 6 - 8 \\ 2 x & = & - 2 \\ \frac{2 x}{2} & = & \frac{- 2}{2} \\ x & = & - 1 \end{array}$

Eksempel 2 på likning med parentes

$\begin{array}{rcl} 2 (2 x - 1) & = & - 3 (x - 4) \\ 4 x - 2 & = & - 3 x + 12 \\ 4 x + 3 x & = & 12 + 2 \\ 7 x & = & 14 \\ x & = & 2 \end{array}$

Løsninger med CAS

I CAS i GeoGebra kan vi løse likninger ved først å skrive inn likningen slik som den står og deretter bruke kommandoknappen $x_{}^{} =$ , som gir eksakt løsning. Da vil det i CAS-feltet stå "Løs:" ved løsningen.

Eksempel

Løs likningen $2 x = 2 - x$ med CAS.

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet 2 x er lik 2 minus x. Svaret med "Løs" er x er lik 2 tredjedeler. Skjermutklipp. — Løsning av likning med kommandoen "Løs" i CAS

Bjarne Skurdal

Vi skriver inn likningen, trykker på knappen $x_{}^{} =$ og får løsningen $x = \frac{2}{3}$ .

Dersom vi ikke ønsker å ha svaret som en brøk, kan vi nå trykke direkte på knappen $_{}^{} \overset{}{\approx}$ uten å skrive inn noe mer. Da vil GeoGebra gjøre om svaret på linja over (linje 1) til et desimaltall, det vil si en tilnærmet løsning, hvis vi for eksempel ikke vil ha svaret som en brøk.

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 2 er det skrevet dollartegn 1. Svaret med tilnærming er x er lik 0,67. Skjermutklipp. — Tilnærming av svaret på linje 1

Bjarne Skurdal

Legg merke til at når du trykker på knappen $_{}^{} \overset{}{\approx}$ , setter GeoGebra inn symbolet "$1", som er symbolet for "svaret i linje nummer 1". Det er fordi når det ikke står noe på linja fra før, går GeoGebra automatisk ut ifra at du mener svaret i linja over.

I stedet for å skrive inn likningen og bruke knappen $x_{}^{} =$ når du skal løse en likning med CAS, kan du bruke kommandoen "Løs()" og skrive likningen inn mellom parentesene slik som nedenfor.

Løs(2x=2-x)

Prøv denne kommandoen!

Framgangsmåten for å løse en lineær likning

Når vi skal løse lineære likninger som de på siden her, kan vi bruke følgende algoritme:

Hvis likningen inneholder parenteser, må vi først multiplisere (gange) ut disse parentesene.
Hvis likningen inneholder brøker, må vi multiplisere med fellesnevneren på begge sider av likhetstegnet.
Vi legger til eller trekker fra det samme tallet på begge sider av likhetstegnet slik at vi får samlet alle leddene som inneholder $x$ på venstre side og alle leddene som bare består av tall på høyre side av likhetstegnet.
Vi trekker sammen leddene.
Til slutt dividerer vi med tallet foran $x$ på begge sider av likhetstegnet.

Potenslikninger

Vi må helt til slutt ta med en spesiell situasjon som kan inntreffe. Det hender at den ukjente er "opphøyd i andre potens". I stedet for $x$ står det $x^{2}$ , " $x$ i andre potens" eller bare " $x$ i andre".

Når et tall er "opphøyd i andre potens", betyr det bare at tallet skal ganges med seg selv.

$\begin{array}{lclcl} 2^{2} = 2 \cdot 2 = 4 & 3^{2} = 3 \cdot 3 = 9 & 4^{2} = 4 \cdot 4 = 16 \\ 5^{2} = 5 \cdot 5 = 25 & 6^{2} = 6 \cdot 6 = 36 & osv . \end{array}$

Når likningen inneholder $x^{2}$ i stedet for $x$ , er ikke likningen lineær lenger. Da løser vi likningen som vist ovenfor, men nå med $x^{2}$ som den ukjente. Vi finner da hva $x^{2}$ er lik.

Eksempel

$\begin{array}{rcl} 4 x^{2} - 11 & = & 25 \\ 4 x^{2} - 11 + 11 & = & 25 + 11 \\ 4 x^{2} & = & 36 \\ \frac{4 x^{2}}{4} & = & \frac{36}{4} \\ x^{2} & = & 9 \end{array}$

Det gjenstår nå bare å finne ut hva $x$ er lik. Husk da at $x^{2}$ betyr $x \cdot x$ . Tallet $x$ er derfor det tallet som ganget med seg selv er lik 9. Da kan $x$ være lik tallet 3 fordi, som vi ser ovenfor, så er $3^{2} = 3 \cdot 3 = 9$ . Legg i tillegg merke til at tallet $- 3$ ganget med seg selv også er lik 9. Vi har at $(- 3) \cdot (- 3) = 9$ .

Løsningen på likningen blir derfor at

$x = 3 eller x = - 3$

Legg merke til at vi har to løsninger på likningen. Du er kanskje vant til å tenke at løsningen på denne likningen er kvadratrota av 9. Det er viktig å huske på at det bare er det positive tallet som opphøyd i andre er lik 9 som kalles for kvadratrota til 9. Kvadratrota til 9 er lik 3, og vi skriver

$\sqrt{9} = 3$

Svaret på likningen over kan da skrives

$x = \pm \sqrt{9} = \pm 3$

Prøv også å løse likningen med CAS i GeoGebra.

Introduksjon

Hva er en likning?

De enkleste likningene: lineære likninger

Eksempel på enkel (lineær) likning

Eksempel på likning med brøk

Eksempel 1 på likning med parentes

Eksempel 2 på likning med parentes

Løsninger med CAS

Eksempel

Framgangsmåten for å løse en lineær likning

Potenslikninger

Eksempel

Regler for bruk av bildet:

Regler for bruk av bildet:

Regler for bruk av bildet: