Hopp til innhald

  1. Home
  2. 1P - Matematikk fellesfagChevronRight
  3. FunksjonarChevronRight
  4. Lineære funksjonarChevronRight
  5. Meir om lineær vekstChevronRight
TasksAndActivitiesOppgaver og aktiviteter

Oppgave

Meir om lineær vekst

Oppgåver til Meir om lineær vekst.

3.1

Per arbeider som telefonseljar. Lønna er basert på ei grunnlønn per time på 105 kroner. I tillegg får han 10 kroner for kvart sal han oppnår.

a) Lag ein funksjon L som visar timelønna i kroner når han oppnår s sal.

vis fasit

L(s)=10s+105


b) Teikn grafen av funksjonen L i eit koordinatsystem. La s variere mellom 0 og 15.


vis fasit
Lineær funksjon. Illustrasjon.

c) Kor mange sal har Per hatt når timelønna var 175 kroner?

vis fasit

Eg teiknar linja y=175 . Eg finn skjeringspunktet mellom denne linja og grafen til L med kommandoen «Skjering mellom to objekt». Sjå punktet A på figuren i oppgåve b).

Med ei timelønn på 175 kroner har Per har hatt 7 sal.

3.2

Flaske med mandalsvann. Foto.

På ein terminprøve i matematikk har Trine tatt med seg ei flaske med kaldt kjeldevatn. Temperaturen i vatnet var 5°C ved starten av prøven, og stig jamnt med 5,4°C i timen i løpet av dei 3 første timane prøven varar.

a) Lag ein funksjon T for temperaturen i vatnet etter x antall minutt.

vis fasit

Temperaturstigninga blir 5,4 °C60 min=0,09 °C per minutt.

T(x)=0,09x+5

b) Kva er temperaturen i vatnet etter 1,5 timar?

vis fasit

T(90)=0,09·90+5=13,1°C

c) Teikn grafen til T i eit koordinatsystem.

vis fasit
Lineær funksjon. Illustrasjon.

d) Når var temperaturen 14°C i vatnet?

vis fasit

Eg teiknar linja y=14 . Eg finn skjeringspunktet mellom denne linja og grafen til T med kommandoen «Skjering mellom to objekt». Sjå punktet A på figuren i oppgåve c). Temperaturen var 14°C etter 100 minutt, altså etter 1 time og 20 minutt.

Anette hadde også med seg ei flaske med kjeldevatn på prøven. Funksjonen som viste temperaturen f i vatnet til Anette x antall minutter etter at prøven starta var

fx=0,08x+6,5

e) Kva var temperaturen i vatnet til Anette da prøven starta?

vis fasit

Da prøven starta var x=0 .

Temperaturen i vassflaska til Anette var dermed 6,5°C ved prøvestart.

3.3

Gitt funksjonane fx=x+2 og gx=-2x+4.

a) Teikn grafane av dei to funksjonane i same koordinatsystem.

vis fasit
grafen til f og g

b) Finn grafisk skjeringspunkta mellom grafane.

vis fasit

Eg bruker kommandoen «Skjering[ f, g ]» i GeoGebra.

Finn grafisk at skjeringspunktet mellom grafane er (0.67, 2.67).

c) Finn skjeringspunkta mellom grafane ved rekning.

vis fasit

f(x) = g(x)x+2=-2x+43x=2x=23

Dette gir f23=23+2=23+63=83

Skjeringspunktet blir 23, 83

d) Finn nullpunkta til funksjonane grafisk og ved rekning.

vis fasit

Eg bruker kommandoane «Nullpunkt[f]» og «Nullpunkt[g]» i GeoGebra. Eg les av grafisk at funksjonen f har nullpunkt forx=-2 og at funksjonen g har nullpunkt for x=2 .

Nullpunkt for f ved rekning:

f(x) = 0x+2=0x=-2

Nullpunkt for g ved rekning:

g(x) = 0-2x+4=0-2x=-4x=2

3.4

Gitt funksjonane f og g der fx=-32x+5 og gx=2x-2.

a) Teikn grafane til funksjonane i same koordinatsystem.

vis fasit
Linær funksjon. Illustrasjon.

b) Finn grafisk skjeringspunktet mellom grafane.

vis fasit

Eg bruker kommandoen «Skjering[ f, g ]» i GeoGebra.

Eg ser grafisk at skjeringspunktet mellom grafane er (2, 2).

c) Finn skjeringspunkta mellom grafane ved rekning.

vis fasit

f(x) = g(x)-32x+5=2x-2-3x+10=4x-4-3x-4x=-4-10-7x=-14x=2

Dette gir g(2)=2·2-2=4-2=2

(Vel å bruke funksjonen g da dette gir enklast rekning.)

Skjeringspunktet blir (2, 2).

d) Finn nullpunkta til funksjonane grafisk og ved rekning.

vis fasit

Eg bruker kommandoane «Nullpunkt[f]» og «Nullpunkt[g]» i GeoGebra. Eg les av grafisk at funksjonen f har nullpunkt x3,3 og funksjonen g har nullpunkt x=1.

Ved rekning for f:

f(x) = 0-32x+5=0-3x=-10x=103

Ved rekning for g:

g(x) = 02x-2=02x=2x=1

3.5

Anette og Bjørnar arbeider som telefonseljarar i kvart sitt firma.
Anette arbeider i firma A. Ho har ei fast timelønn på 100 kroner og eit tillegg på 10 kroner per sal.
Total timelønn i kroner, A, for Anette kan beskrivast ved funksjonsuttrykket

Ax=10x+100  der x er talet på sal per time.

Bjørnar jobbar i firma B. Han har ei fast timelønn på 90 kroner, og eit tillegg på 12 kroner per sal.

Total timelønn i kroner, B, for Bjørnar kan beskrivast ved funksjonsuttrykket

Bx=12x+90  der x er talet på sal per time.

a) Teikn grafane til funksjonane i same koordinatsystem.

vis fasit
Grafene til funskjon A og B

b) Finn grafisk og ved rekning skjeringspunktet mellom grafanee.

vis fasitEg bruker kommandoen «Skjering[ A, B ]» i GeoGebra. Eg ser grafisk at skjeringspunktet mellom grafane er (5, 150).

Ved rekning:

A(x) = B(x)100+10x=90+12x-2x=-10x=5

Det gir A(5)=100+10·5=150.

Skjeringspunktet er (5, 150).

c) Kva fortel skjeringspunktet?

vis fasit

Skjeringspunktet fortel at timelønna til Anette og Bjørnar er den same ved 5 sal. Timelønna er då 150 kroner.

3.6

Tabellen under viser folkemengda i Noreg for nokre utvalte år i perioden frå 1950 til 2000.

Årstall 1950 1960 1970 1980 1990 2000
Folkemengde 3 249 954 3 567 707 3 683 221 4 078 900 4 233 116 4 478 497

a) Plott punkta i eit koordinatsystem og finn eit tilnærma lineært uttrykk for ein funksjon f som beskriv samanhengen mellom år og folkemengda ved å bruke eit digitalt hjelpemiddel eller gjera det manuelt på papir. La x vere talet på år etter 1950 og f(x) folkemengda i millionar.

vis fasit

Her viser vi løsningen med bruk av GeoGebra.

Eg valde «Rekneark» i GeoGebra. La punkta frå tabellen nedanfor inn i rad 1 og 2.

x
0 10 20 30 40 50
f(x)
3,2 3,6 3,9 4,1 4,2 4,5

Merka området med tala. Eg valde så «Regresjonsanalyse» og «Analyser». Som regresjonsmodell valde eg «Lineær»

regresjonsmodell

Funksjonen f kan beskrivast med uttrykketf(x)=0,024x+3,315.

Eg valde «Kopier til grafikkfeltet»

graf tegnet ut fra regresjon

b) Kor mykje aukar folkemengda per år ut frå uttrykket du fann i a)?

vis fasit

Av funksjonsuttrykket ser vi at stigingstalet er 0,024. Auken i folkemengd per år er 0,024 millionar, altså 24 000 individ.

c) Dersom denne utviklinga held fram, kva vil folkemengda i Noreg vere i år 2050?

vis fasit

Variabelen x er talet på år etter 1950. Vi set da x lik 100 i funksjonen vi fann ovanfor og finn folkemengda i Noreg i år 2050.

f(x)=0,024·100+3,315=5,715

Folkemengda i Noreg vil vere 5 715 000 i år 2050 etter denne modellen.

Læringsressursar

Lineære funksjonar