Hopp til innhald

  1. Home
  2. 1P - Matematikk fellesfagChevronRight
  3. FunksjonarChevronRight
  4. Lineære funksjonarChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Meir om lineær vekst

Her finn vi skjeringspunktet mellom linjer, nullpunktet til ei linje, og vi bruker lineære modellar.

Skjeringspunktet mellom to rette linjer

Vi kan finne skjeringspunktet mellom to rette linjer grafisk eller ved rekning.

I skjeringspunktet har begge funksjonane same verdi for x og same verdi for y. Når vi skal finne skjeringspunktet ved rekning, set vi difor funksjonsuttrykka like kvarandre og løyser likninga vi då får.

Døme

Funksjonane f og g er gitt ved

fx=2x-1 og gx=-x+2.

Finn skjeringspunktet mellom dei to linjene grafisk og ved rekning.

Grafisk løysing

skjæring mellom to rette linjer

Vi teiknar dei to linjene i eit koordinatsystem, les av og finn at linjene skjer kvarandre i punktet 1, 1.

I GeoGebra kan du bruke kommandoen «Skjering[f,g]», eller knappen «Skjering mellom to objekt».

Ved rekning

Vi set funksjonsuttrykka lik kvarandre og løyser likninga.

   fx=gx2x-1=-x+2     3x=3       x=1

Vi kan sette inn

x=1

i et av funksjonsuttrykkene (samme hvilket) for å finne y.

Vi velger å regne ut

f1=2·1-1=1

. Skjæringspunktet er

1, 1

.



Døme

To firma leiger ut selskapslokale.

Firma A tek ein fast leigepris på 3 000 kroner og eit timetillegg på 500 kroner. Kostnadene i kroner, A(x) , ved leige av lokalet i x timar kan beskrivast med funksjonsuttrykket

Ax=500x+3000

Firma B tek ein fast leigepris på 2000 kroner og eit timetillegg på 1 000 kroner. Kostnadene i kroner, B(x), ved leige av lokalet i x timar kan beskrivast med funksjonsuttrykket

Bx=1000x+2000

Lineære grafar i koordinatsystem som kryssar kvarandre. Bilete.

Vi teiknar grafane til dei to funksjonane og finn skjeringspunktet mellom grafane ved kommandoen «Skjering mellom to objekt».

Grafane skjer kvarandre når x=2. Det betyr at om du skal leige lokala i to timar, er det prismessig det same kva firma du vel. Prisen er 4000 kroner hjå begge firmaa.

Om du skal leige lokalet i mindre enn to timar, løner det seg å velje firma B. Det ser vi ved at grafen til B ligg under grafen til A i dette området.

Om du skal leige lokalet i meir enn to timar, løner det seg å velje firma A. Det ser vi ved at grafen til A ligg under grafen til B i dette området.

Skjermbilde, utregning av skjæringspunkt i CAS GeoGebra. Bilde.

Vi kan kontrollere den grafiske løysinga ved rekning

Vi får også her at leigeprisane er like når leigetida er to timar og at leigeprisen då er 4 000 kroner.

Kva fortel stigingstal og konstantledd?

Hos firma A er totalkostnadene i kroner ved leige av lokalet i x timar, gitt ved funksjonsuttrykket

A(x)=500x+3000

Konstantleddet er 3 000 og viser her at den faste leigeprisen er kroner 3 000. Den må betalast same kor mange timar lokalet blir leigt. Legg merke til at grafen skjer y-aksen i punktet (0,3000).

Stigingstalet er 500. Det tyder at det kostar kroner 500 for kvar ekstra time lokalet blir leigt.

Kostnadene aukar jamt med auken i talet på leigde timar. Vi har lineær vekst i kostnadene!

Funksjonen S gitt ved S(t)=160t gir strekninga i meter som er sprungen etter t minutt.

Her er konstantleddet lik null, og det viser at sprungen strekning er null ved tida null. «Klokka» startar når løpeturen byrjar.

Stigingstalet er 160. Det tyder det blir sprunge 160 meter for kvart ekstra minutt. Det fortel altså at farten er 160 meter per minutt.

Talet på sprungne meter aukar jamt med auken i talet på minutt det blir sprunge. Vi har lineær vekst i talet på sprungne meter!

Nullpunkt

Definisjon

Eit nullpunkt til ein funksjon f er løysinga av likninga fx=0.

Eit nullpunkt er altså x-verdien til eit skjeringspunkt mellom grafen og x-aksen.

Døme

nullpunkt

Gitt funksjonen fx=2x-1.

Vi set funksjonen lik null.

f(x)=02x-1=0x=12

Nullpunktet til f er x=12 .

Gitt funksjonen gx=-x+2 .

g(x)=0-x+2=0x=2

Nullpunktet til g er x=2.

I GeoGebra kan du finne nullpunkt med kommandoen "Nullpunkt[ Polynom ]".

Døme

Småbåt. Foto.

Like før sommarferien får Janne tilbod om å kjøpe ein brukt båt med motor for kroner 9 000.

Janne har ikkje pengar, men får eit rentefritt lån av foreldra sine på kroner 9 000 som skal betalast tilbake gjennom sommaren med vekentlege avdrag på kr 1 500.

Janne har fått sommarjobb med vekelønn på kroner
4 000.

Bilde av et koordinatsystem
Koordinatsystem

Restgjelda Janne har til foreldra sine x veker etter at ho tok opp lånet kan beskrivast med den lineære funksjonen

R(x)=-1500x+9000

Konstantleddet er 9 000.
Det tyder at lånet i starten er på kroner 9 000.

Stigingstalet er negativt, -1500.
Det tyder at restlånet minkar med 1 500 kroner per veke. Vi kan seie at restlånet har negativ lineær vekst!

Vi finn nullpunktet til funksjonen i GeoGebra med kommandoen "Nullpunkt[R]".

Nullpunktet er (6, 0). Det fortel at lånet er nedbetalt, restlånet er null, etter 6 veker.

Ved rekning løyser vi likninga

Skjermbilde, utregning av likning i CAS i GeoGebra. Bilde.

Vi får same løysing.

Lineære modellar

Tabellen viser folketalet i Noreg for nokre utvalte år i perioden frå 1950 til 2000

Årstal

1950

1960

1970

1980

1990

2000

Folketal

3 249 954

3 567 707

3 863 221

4 078 900

4 233 116

4 478 497

Det er ein samanheng mellom årstal etter 1950 og folketalet.
Vi lagar ein ny tabell der x er talet på år etter 1950 og der f(x) er folketalet i millionar.

x

0

10

20

30

40

50

f(x)

3,2

3,6

3,9

4,1

4,2

4,5


Vi plottar punkta frå den siste tabellen i eit koordinatsystem, og ser at punkta tilnærma ligg på ei rett linje.

Bilde av eit koordinatsystem med ei tilnærma vassrett linje. Illustrasjon.

Det tyder at folketalet i Noreg har hatt ein tilnærma lineær vekst i perioden frå 1950 til 2000.

Vi trekkjer ei rett linje som ser ut til å passe godt med punkta.

Kan du bestemme likninga for denne linja?

Linja skjer y-aksen der y3,3 og går tilnærma gjennom punkta (30, 4) og (70, 5). Vi reknar ut endringane i y- og x-retning.

y: 5-4=1 og x: 70-30=40

Stigingstalet blir då tilnærma lik 140=0,025.

Vi kan då seie at funksjonen f(x)=0,025x+3,3 er ein tilnærma lineær matematisk modell som beskriv utviklinga i folketalet i Noreg frå 1950 til 2000.

Når vil folketalet i Noreg etter denne modellen passere 5 millionar og 6 millionar?

Finn ut kva folketalet i Noreg var i 2018. Stemmer det med kva modellen seier?

Trur du folketalsutviklinga i Noreg stort sett vil følgje denne modellen framover?

Læringsressursar

Lineære funksjonar