Hopp til innhald

  1. Home
  2. 1T - Matematikk fellesfagChevronRight
  3. Tal og algebraChevronRight
  4. Eksponential- og logaritmelikningarChevronRight
  5. VekstfaktorChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Vekstfaktor

Vekstfaktoren er god å ha når vi reknar på eksponentiell vekst.

To eksempel på bruk:

  • Dersom folketalet i ein by veks med 5 % kvart år i perioden 1995 til 2015, så seier vi at folketalet har ein eksponentiell vekst i desse åra.
  • Eva set 10 000 kroner på ein konto i banken og let pengane stå der i åtte år. Renta er 6,0 % per år. Vi seier at beløpet i banken veks eksponentielt desse åra.

Generelt:
Når ein storleik har same prosentvise endring over fleire periodar av same lengd, til dømes over fleire år, har vi eksponentiell vekst.

Kari kjøper ny bil til kroner 600 000, og verdien av bilen går ned med 15 % per år dei første 10 åra. Vi har også no ei prosentvis endring over fleire periodar av same lengd, og altså eksponentiell vekst. Dette rimar ikkje heilt med oppfatninga vår av vekst, for her går verdien ned for kvart år. I matematikken løyser vi dette ved å seie at vi har negativ vekst.

Når vi skal løyse problem knytt til eksponentiell vekst, får vi bruk for å løyse eksponentiallikningar. Det er likningar kor den ukjente er ein eksponent i ein potens.

For å løyse eksponentiallikningar utan bruk av digitale hjelpemiddel, får vi bruk for å løyse logaritmelikningar.

Vi startar med ein kort repetisjon av prosentrekning, og ser spesielt på korleis vi reknar med vekstfaktor. Vi føreset at du frå ungdomsskulen hugsar at prosent tyder hundredel.

Vekstfaktor

Eksempel 1

Ei vare kostar 1 500 kr. Så stig prisen med 25 %. Kva blir ny pris på vara?

En måte å rekne på er slik:

Ny pris= 1500 kr + 1500 kr·25100=1875 kr

Set vi 1 500 utanfor ein parentes, blir rekninga slik:

1500+1500·25100=15001+25100=15001+0,25=1500·1,25=1875

Talet 1+25100=1,25 blir kalla vekstfaktoren.

Du finn ny pris ved å multiplisere gammal pris med vekstfaktoren.

Eksempel 2

Vi tar igjen for oss ei vare som kostar 1 500 kr. Kva blir ny pris etter eit avslag på 25 %?

Ein måte å rekne på er slik:

Ny pris=1500 kr-1500 kr·25100=1125 kr

Set vi 1 500 utanfor ein parentes, blir rekninga slik:

1500-1500·25100=15001-25100=15001-0,25=1500·0,75=1125

Talet 1-25100=0,75 blir kalla også i dette tilfelle for vekstfaktoren.

Du ser igjen at du finn ny pris ved å multiplisere gammal pris med vekstfaktoren.

Når du skal auke ein verdi med p %, blir vekstfaktoren 1+p100.


Når du skal redusere ein verdi med p %, blir vekstfaktoren 1-p100.


I begge tilfelle må du multiplisere gammal verdi med vekstfaktoren for å få ny verdi.

Ved bruk av vekstfaktor kan du også raskt finne ny pris når det skjer fleire prosentvise endringar etter kvarandre.

Eksempel 3

Kva er vekstfaktoren her?
Kva er vekstfaktoren her?

Ei vare som kostar 500 kr blir først sett opp med 12 % og deretter ned med 30 %.
Kva blir ny pris?

Pris etter prisauke

500·1,12=560 kr

Pris etter prisreduksjon

500 kr·1,12·0,70=500·1,12·0,70                         =392 kr

Eksempel 4

Eva set 10 000 kr i banken. Rentefoten er 3 % per år. Kor mykje har beløpet vakse til dersom det står åtte år i banken?

Løysing

Etter åtte år har beløpet vakse til

10 000 kr·1,03·1,03·1,03·1,03·1,03·1,03·1,03·1,03=10 000 kr·1,038=12 668 kr

Utrekning av suksessive renteutrekningar i GeoGebra. Skjermbilete.

Ved CAS i GeoGebra

Eksempel 5

Adam set 5 000 kr i banken. Rentefoten er 2,0 % per år. Kor lenge må pengane stå i banken før det står 5 500 kr på kontoen?

Løysing

Vi kan setje opp følgjande likning der x er tida pengane må stå i banken

5 000·1,02x=5500

Ei slik likning kallar vi ein eksponentiallikning fordi den ukjende opptrer som eksponent i ein potens.

GeoGebra, vekstfaktor

Vi kan løyse likninga med CAS i GeoGebra

Pengane må stå i banken i nesten fem år før det står 5 500 kroner på kontoen.

For å løyse eksponentiallikningar utan å bruke eit digitalt verktøy direkte på denne måten, treng vi å lære litt om logaritmar.

Eksempel 6

Vi går ut ifrå at innbyggjartalet i Småby veks med 1,5 % kvart år. Det bur i dag 13 000 personar i Småby. Kor mange år går det før innbyggjartalet er 15 000?

Vi finn vekstfaktoren

1+1,5100=1,015

Eksponentiallikning i GeoGebra. Foto

Vi kan setje opp og løyse følgjande eksponentialikning ved CAS i GeoGebra

Innbyggjartalet vil vere 15000 om snaue 10 år.

Eksempel 7

Bruktilar. Foto.
Kor mange år vil det gå før verdien av bilen er halvert?

Kari kjøper ein fire år gamal bil for 200 000 kroner. Bilen har sokke i verdi med 10 % kvart år sidan han var ny, og Kari reknar med at denne verdireduksjonen vil halde fram dei neste åra.

Vekstfaktoren blir 1-10100=0,90

Verdien av bilen V(x), x år etter at Kari kjøpte han, er då gitt ved V(x)=200000·0,90x

Ekspontentiallikninger i GeoGebra. Foto

For å finne ut kor mange år det går før verdien på bilen er halvert, kan vi sette opp og løyse følgande eksponentiallikning ved CAS i GeoGebra

Verdien på bilen er halvert etter 6,6 år.

Eksempel 8

Prisen på ei vare er sett ned med 15 %. Vara kostar no 1700 kroner.

Kva kosta vara før prisen vart sett ned?

Løysing
Den nye prisen på kroner 1700 vart rekna ut ved at den opphavlege prisen vart multiplisert med vekstfaktoren. Vekstfaktoren var då

1-15100=0,85

Vi kallar gammal pris for x og set opp ei likning

 x·0,85 = 1700x·0,850,85=17000,85        x=17000,85        x=2000

Vara kosta 2000 kroner før prisen vart sett ned.

Ved å løyse likninga ser du at den opphavlege prisen er lik den nye prisen dividert med vekstfaktoren. Dette gjeld alltid. Det er altså ikkje nødvendig å rekne med likning for å finne opphavleg verdi.

Du finn opphavleg verdi ved å dividere ny pris med vekstfaktoren

Læringsressursar

Eksponential- og logaritmelikningar

Kva er kjernestoff og tilleggsstoff?
SubjectEmne

Læringssti

  • LearningPath

    Prosentrekning

    Tilleggsstoff er fagstoff
    AdditionalTilleggstoff
  • LearningPath

    Vekstfaktor

    Tilleggsstoff er fagstoff
    AdditionalTilleggstoff
  • LearningPath

    Prosentpoeng

    Tilleggsstoff er fagstoff
    AdditionalTilleggstoff
  • Det er ikkje noko kjernestoff tilgjengeleg for læringssti.

SubjectEmne

Fagstoff

  • SubjectMaterialFagstoff

    Prosentrekning

    Tilleggsstoff er fagstoff
    AdditionalTilleggstoff
  • SubjectMaterialFagstoff

    Vekstfaktor

    Tilleggsstoff er fagstoff
    AdditionalTilleggstoff
  • SubjectMaterialFagstoff

    Prosentpoeng

    Tilleggsstoff er fagstoff
    AdditionalTilleggstoff
SubjectEmne

Oppgaver og aktiviteter

  • TasksAndActivitiesOppgaver og aktiviteter

    Prosentrekning

    Tilleggsstoff er fagstoff
    AdditionalTilleggstoff
  • TasksAndActivitiesOppgaver og aktiviteter

    Vekstfaktor

    Tilleggsstoff er fagstoff
    AdditionalTilleggstoff
  • TasksAndActivitiesOppgaver og aktiviteter

    Prosentpoeng

    Tilleggsstoff er fagstoff
    AdditionalTilleggstoff
  • TasksAndActivitiesOppgaver og aktiviteter

    Kva kan du om prosentrekning?

    Tilleggsstoff er fagstoff
    AdditionalTilleggstoff
  • TasksAndActivitiesOppgaver og aktiviteter

    Kva kan du om vekstfaktor?

    Tilleggsstoff er fagstoff
    AdditionalTilleggstoff
  • TasksAndActivitiesOppgaver og aktiviteter

    Kva kan du om prosentpoeng?

    Tilleggsstoff er fagstoff
    AdditionalTilleggstoff