Hopp til innhald

  1. Home
  2. 1T - Matematikk fellesfagChevronRight
  3. Tal og algebraChevronRight
  4. UlikskaparChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Ulikskapar av 2. grad

Korleis løyser vi ulikskapar av andre grad?

Gitt ulikskapen

x2<5x-4

Vi ordnar først ulikskapen slik at vi får null på høgre side.

x2-5x+4<0


Vi bruker så til dømes abc-formelen og finn nullpunkta til uttrykket  x2-5x+4.

x2-5x+4  =  0           x=--5±-52-4·1·42·1           x=5±92           x=5±32           x1=4        x2=1

Vi veit no at uttrykket  x2-5x+4  er lik 0 når  x=1  og når  x=4.
Det er berre for desse x-verdiane uttrykket kan skifte forteikn.

Det tyder at uttrykket anten er positivt eller negativt for alle x-verdiar i kvart av dei tre intervalla  , 1,1, 4  og  4, . For å avgjere om uttrykket er positivt eller negativt i kvart av intervalla, kan vi ta «stikkprøver» for ein x-verdi i kvart intervall.

Vi veit at uttrykket kan faktoriserast slik at  x2-5x+4=x-4x-1. Det er lettast å bruke det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene.

x2-5x+4=x-4x-1

For  x=0  får vi

0-40-1=-4·-1. Uttrykket er positivt.

For  x=2  får vi

2-42-1=-2·1. Uttrykket er negativt.

For  x=5  får vi

5-45-1=1·4. Uttrykket er positivt.

Det er ikkje nødvendig å rekne ut verdien i parentesane. Det som har noko å seie, er forteikna på parentesuttrykka.

For å få ei oversikt over situasjonen, set vi opp eit forteiknsskjema. Det består av ei tallinje som viser x-verdiane og ei forteiknslinje som viser forteiknet til uttrykket i dei aktuelle intervalla. Heiltrekt linje markerer at uttrykket er positivt i dette talintervallet og stipla linje markerer at uttrykket er negativt. Ein "0" viser at uttrykket er lik null for denne x-verdien.

Forteiknsskjema for uttrykket x i andre minus 5 x pluss 4. Illustrasjon.
Fortegnsskjema

Vår oppgåve var å finne ut for kva verdiar av x det stemte at  x2<5x-4. Det er det same som å finne ut når  x2-5x+4<0. Ut frå forteiknslinja er det no lett å finne løysinga på oppgåva.


Løysinga på oppgåva er at x må liggje mellom 1 og 4. Dette kan vi skrive som eit intervall slik:

 x1, 4

Skrivemåten tyder "x er med i intervallet ⟨1, 4⟩", altså intervallet frå 1 til 4. Alternativt kan vi skrive svaret som ein dobbel ulikskap:

1<x<4

Den doble ulikskapen seier at x skal vera større enn 1 og samtidig mindre enn 4.

Ved CAS i GeoGebra skriv vi den opprinnelege ulikskapen rett inn og bruker knappen x  = . Da vil det sjå ut som vist nedanfor.

x2<5x-41Løys:  {1<x<4}

Vi ser at GeoGebra skriv svaret som ein dobbel ulikskap.

Vi kan også skrive ulikskapen inn i kommandoen "Løys()".

Læringsressursar

Ulikskapar

SubjectEmne

Fagstoff

SubjectEmne

Oppgaver og aktiviteter