1. Home
  2. 1T - Matematikk fellesfagChevronRight
  3. Tal og algebraChevronRight
  4. Faktorisere andregradsuttrykk ved hjelp av nullpunktmetodenChevronRight
  5. Meir om forenkling av rasjonale uttrykk ChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Meir om forenkling av rasjonale uttrykk

Korleis skal vi trekkje saman (addere og subtrahere) rasjonale uttrykk som også inneheld andregradsuttrykk?

Gjennom tre døme skal vi illustrere korleis vi ved hjelp av reglane for brøkrekning og faktoriseringsreglane kan trekkje saman og forenkle rasjonale uttrykk som også inneheld andregradsuttrykk.

Hugsar du at eit tal som kan skrivast som ein brøk med heile tal i teljar og nemnar, kallast eit rasjonalt tal? På same måte er eit typisk rasjonalt uttrykk ein brøk med bokstavuttrykk i teljar og nemnar.

Døme 1

Vi skal forkorte brøken

x2-5x+6x-3

Først faktoriserer vi teljaren. Teljaren x2-5x+6 har nullpunkta x=2 og  x=3.
Dermed er x2-5x+6=x-2x-3.
Då er

x2-5x+6x-3=x-2x-3x-3=x-2

Døme 2

Vi skal forkorte brøken

x2+3x+22x+2

Først faktoriserer vi teljaren. Teljaren x2+3x+2 har nullpunkta x=-1 og x=-2.
Dermed er x2+3x+2=x--1x--2=x+1x+2.
Då er

x2+3x+22x+2=x+1x+22x+1=x+22

Døme 3

Vi skal trekkje saman og forkorte

12x-2+2x-3-x-2x2-4x+3

Først faktoriserer vi nemnarane. Vi startar med å finne nullpunkta til nemnaren x2-4x+3.

x2-4x+3 = 0x=--4±-42-4·1·32·1x=4±22x1=1        x2=3

Nemnaren i den tredje brøken har altså nullpunkta x=1 og x=3.

Det gir at x2-4x+3=x-1x-3.

Nevnaren i den første brøken faktorierer vi slik:

2x-2=2x-1

Det betyr at samnemnar for dei tre nemnarane er:

2x-1x-3


Då er

12x-2+2x-3-x-2x2-4x+3= 12(x-1)+2(x-3)-x-2(x-1)(x-3)=1·(x-3)2(x-1)·(x-3)+2·2(x-1)(x-3)·2(x-1)-x-2·2(x-1)(x-3)·2=x-32(x-1)(x-3)+4x-42(x-1)(x-3)-(2x-4)2(x-1)(x-3)=x-3+4x-4-(2x-4)2(x-1)(x-3)=x-3+4x-4-2x+42(x-1)(x-3)              Hugs å skifte forteikn!=3x-32(x-1)(x-3)=3(x-1)2(x-1)(x-3)=32(x-3)

Brøkar som blir utvida og forkorta endrar ikkje verdi

  • Når ein brøk blir utvida, multipliserer vi teljar og nemnar med same tal. Brøken endrar ikkje verdi.
  • Når ein brøk blir forkorta, dividerer vi teljar og nemnar med same tal. Brøken endrar ikkje verdi.
Faktorisering av rasjonale uttrykk i GeoGebra. Bilde.

Med CAS i GeoGebra får vi dei same løysingane som i eksempla over ved å bruke faktoriseringskommandoen.

Læringsressursar

Faktorisere andregradsuttrykk ved hjelp av nullpunktmetoden