1. Home
  2. 1T - Matematikk fellesfagChevronRight
  3. Tal og algebraChevronRight
  4. AndregradslikningarChevronRight
  5. AndregradslikningarChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Andregradslikningar

Kva er ei andregradslikning, og korleis kan vi løyse ei andregradslikning utan bruk av abc-formelen?

Ei likning som kan skrivast på forma ax2+bx+c=0  der  a0, blir kalla ei andregradslikning.

Eit døme på ei andregradslikning er x2+4x-5=0. x2 blir kalla andregradsleddet og a=1. 4x blir kalla førstegradsleddet og b=4. -5 blir kalla konstantleddet og c=-5.

Nokre gonger må andregradslikninga ordnast for å sjå kva tala a, b og c er.

Andregradslikninga

3-x=-7x22

kan ordnast til likninga

       6-2x = -7x27x2 -2x+6=0

og her ser vi at a=7, b=-2 og c=6.

Ei andregradslikning inneheld alltid andregradsleddet, men førstegradsleddet og konstantleddet kan mangle, det vil seie at b og/eller c kan vere lik 0.

Når konstantleddet manglar

Når konstantleddet manglar, kan vi samle dei to gjenståande ledda på venstre side av likskapsteiknet og faktorisere. Faktoren x førekjem nemleg i begge ledd. Vi nyttar oss av at når eit produkt er lik null, må minst ein av faktorane vere lik null.

Døme

x2-2x = 0xx-2=0x=0  x-2=0(=eller)x=0  x=2

Når førstegradsleddet manglar

Vi ordnar likninga slik at x2 kjem på den eine sida av likskapsteiknet. Så trekkjer vi ut kvadratrota.

Døme

-2x2+18 = 0     -2x2=-18         x2=9          x=9  x=-9         x=3     x=-3

Dersom høgresida blir null etter at likninga er ordna, får vi berre éi løysing, nemleg x=0. Dersom høgresida blir negativ etter at likninga er ordna, har likninga inga løysingar.

Fullstendige kvadrat

Nokre andregradslikningar kan ordnast slik at venstresida i likninga blir eit såkalla fullstendig kvadrat.

Hugs at eit fullstendig kvadrat er eit andregradsuttrykk som vi kan faktorisere ved hjelp av første eller andre kvadratsetning.

La oss først sjå på likninga x-32=4. Denne likninga må kunne løysast etter tilsvarande prinsipp som likningar utan førstegradsleddet:

x-32 = 4x-3=2 eller x-3=-2    x=5 eller  x=1

I likninga x2-6x+9=4 er venstresida eit fullstendig kvadrat. Etter andre kvadratsetning er venstresida lik x-32 og likninga har da løysing som vist ovanfor.

Dette tyder at dersom vi omformer ei andregradslikning slik at det til venstre for likskapsteiknet står eit fullstendig kvadrat, så kan vi løyse likninga.

Første og andre kvadratsetning

a+b2=a2+2ab+b2

a-b2=a2-2ab+b2

Hugsar du korleis vi laga fullstendige kvadrat då vi faktoriserte andregradsuttrykk? Vi bruker same metode no, med ein liten skilnad. Vi treng ikkje subtrahere uttrykket vi adderer. Sidan vi har likningar, kan vi addere det same uttrykket på begge sider av likskapsteiknet.

Døme 1

x2+2x-15 = 0           a=xx2-2x+b2=15+b2      ha 2ab=2x2xb=2xb=1x2+2x+12=15+1   x+12=42       x+1=4     x+1=-4           x=3      x=-5

a+b2=a2+2ab+b2

a-b2=a2-2ab+b2

Døme 2

 -42-8x = -2x2   2x2-8x=42          Dividerer alle ledd med 2     x2-4x=21         a=xx2 -4x+b2=21+b2       ha 2ab=4x2xb=4xb=2x2-4x+22=21+4   x-22=25       x-2=5         x-2=-5           x=7             x=-3

Læringsressursar

Andregradslikningar