Hopp til innhald

  1. Home
  2. 1T - Matematikk fellesfagChevronRight
  3. Tal og algebraChevronRight
  4. AndregradslikningarChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Å løyse andregradslikningar med abc-formelen

Vi kan lage eit fullstendig kvadrat av eit generelt andregradsuttrykk. På den måten kan vi kome fram til ein formel som vi alltid kan bruke til å løyse andregradslikningar.

Vi ser på den generelle andregradslikninga ax2+bx+c=0. Her får vi eit lite problem ved at dei same bokstavane er brukte både til å illustrere kvadratsetninga og andregradsuttrykket. Vi løyser dette ved å bruke bokstavane x og k i kvadratsetninga slik at denne blir x+k2=x2+2xk+k2

       ax2+bx+c = 0                  Vi dividerer med a i alle ledd     x2+bax+ca=0                   x2+bax+k2=-ca+k2                ha 2xk=baxk=b2ax2+bax+b2a2=-ca+b2a2x+b2a2=b24a2-4a·c4a·ax+b2a2=b2-4ac4a2

x+b2a = +b2-4ac4a2      eller    x+b2a=-b2-4ac4a2x=-b2a+b2-4ac2a     eller    x=-b2a-b2-4ac2ax=-b+b2-4ac2a        eller     x=-b-b2-4ac2a

abc-formelen
Andregradslikninga ax2+bx+c=0 har løysningane

x=-b±b2-4ac2a                          a0                                           b2-4ac0

Vi bruker teiknet ± for å spare skriving.

Når vi løyser ei andregradslikning med abc-formelen, ordnar vi først likninga slik at ho kjem på forma ax2+bx+c=0.

Du hugsar at vi definerte kvadratrota berre av positive tal og null. Det vil seie at andregradslikninga ikkje har løysingar blant dei reelle tala når det som står under rotteiknet, er mindre enn null. Kanskje det digitale verktøyet du bruker då gir løysingar med bokstaven i ? Det vil seie at løysinga er imaginær.

Andregradslikninga har berre éi løysing når det som står under rotteiknet, er lik null.

Vi skal no sjå på nokre døme på bruk av abc-formelen.

Døme 1

         x2 = 5-4xx2+4x-5=0     Vi ordnar likninga og finn at a=1, b=4, c=-5.          x=-4±42-4·1·-52·1   Vi set inn i formelen.          x=-4±16+202          x=-4±362          x=-4+62   eller   x=-4-62          x=1           eller   x=-5

Likninga har to løysingar. Det er altså to x-verdiar for som passar i den opphavlege likninga.

Døme 2

x2+4x+4 = 0          x=-4±42-4·1·42·1          x=-4±16-162=-4±02=-2          x=-2

Uttrykket under rotteiknet er null, og vi får berre éi løysing.

Døme 3

x2-2x+4 = 0           x=--2±-22-4·1·42           x=4±4-162=4±-122Ingen løsning           

Vi får -12 under rotteiknet og -12 er ikkje definert når vi reknar med reelle tal. Vi får difor inga løysing, dvs. at det ikkje finst noko reelt tal som er slik at andregradsuttrykket på venstre side i likninga blir null.

Ved CAS i GeoGebra får vi følgjande løysingar ved å bruke knappen x=

Løse andregradslikning i GeoGebra. Bilete.

Legg merke til markering for «inga løysing»!

Læringsressursar

Andregradslikningar

SubjectEmne

Fagstoff

SubjectEmne

Oppgaver og aktiviteter