3.4.10

Finn eventuelle ekstremalpunkt (topp- og botnpunkt) til ein funksjon der den deriverte funksjonen har følgjande graf.

Løysing

Den deriverte funksjonen, , har som einaste nullpunkt .

For er positiv, som betyr at grafen til stig. For er negativ, som betyr at grafen til søkk. Det betyr at funksjonen har eit toppunkt for . Grafen har ingen andre ekstremalpunkt.

3.4.11

Ein funksjon har derivertfunksjonen . Finn utan hjelpemiddel når grafen til funksjonen stig, og når han søkk. Avgjer òg om grafen til har topp- eller botnpunkt.

Løysing

Vi set .

Vi veit då at det berre er for at uttrykket for den deriverte kan skifte forteikn. Vi vel derfor tilfeldige tal i kvart av dei aktuelle intervalla og og ser om uttrykket er positivt eller negativt.

Vi kan då setje opp forteiknslinja til .

Vi ser av forteiknslinja at

grafen til søkk når
grafen til stig når
grafen til har botnpunkt når

3.4.12

Funksjonen er gitt ved

Finn utan hjelpemiddel når grafen til funksjonen stig, og når han søkk. Finn òg eventuelle topp- og botnpunkt. Lag ei skisse av grafen til på grunnlag av dei opplysningane derivertfunksjonen gir.

Løysing

Vi deriverer funksjonen.

Vi faktoriserer den deriverte.

Her har vi brukt stiremetoden .

Det betyr at når

Vi veit då at det berre er i punkta og at uttrykket for den deriverte kan skifte forteikn. Vi vel derfor tilfeldige tal i kvart av dei aktuelle intervalla og og ser om uttrykket er positivt eller negativt.

Vi kan då setje opp forteiknslinja for .

Vi ser av forteiknslinja at

grafen til stig når og når
grafen til søkk når
grafen til har toppunkt når . Toppunktet er fordi

grafen til har botnpunkt når . Botnpunktet er fordi

Nedanfor har vi teikna ei skisse av grafen til saman med forteiknslinja for den deriverte. (Her har vi teikna den reelle grafen.)

3.4.13

Den deriverte funksjonen til ein funksjon har grafen som vist til høgre.

Finn når grafen til funksjonen stig, når han søkk og eventuelle ekstremalpunkt på grafen til .

Lag ei skisse av grafen til ein funksjon som oppfyller krava i oppgåva.

Løysing

Vi ser av grafen til den deriverte funksjonen at

stig når og når
søkk når
har eit toppunkt for
har eit botnpunkt for

Nedanfor har vi teikna grafen til ein funksjon som oppfyller krava i oppgåva.

3.4.14

Figuren viser grafen til ein funksjon . Teikn forteiknslinjene til og .

Løysing

3.4.15

Funksjonen er gitt ved

Drøft monotonieigenskapane til , og finn eventuelle topp- og botnpunkt på grafen til . Finn nullpunkta til , og lag ei skisse av grafen.

Løysing

Vi deriverer funksjonen.

Vi set .

Det er berre i nullpunkta at uttrykket for den deriverte kan skifte forteikn. Vi vel derfor tilfeldige verdiar i kvart av dei aktuelle intervalla og for å sjå om uttrykket er positivt eller negativt.

Det betyr at

grafen til stig i intervalla og
grafen til søkk i intervallet

har toppunkt

har botnpunkt

Vi har at er eitt nullpunkt. Vi kan då gjere polynomdivisjonen.

Vi set så .

Det gir følgjande nye nullpunkt for:

Under ser du ei skisse av grafen basert på nullpunkta og topp- og botnpunkta vi har funne.

3.4.16

Løys oppgåvene 3.3.12 og 3.3.13 på sida Modellering med andregradsfunksjonar med CAS.

Tips til 3.3.13 f)

Prøv å løyse oppgåva ved å leggje inn funksjonen med konstanten . Korleis kan du bruke den deriverte funksjonen til å svare på spørsmålet?

Sida har flytta, men du kan finne den her: