Hopp til innhald

  1. Home
  2. 1T - Matematikk fellesfagChevronRight
  3. FunksjonarChevronRight
  4. Drøfting av polynomfunksjonarChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Drøfting av polynomfunksjonar på grunnlag av eigenskapar til den deriverte funksjonen

Klatrer opp på fjelltopp. Foto.

Vi kan bruke den deriverte til å finne topp- og botnpunkt på grafen av ein funksjon, og til å bestemme kor grafen stig og søkk. Dette kan vi gjere ved rekning utan å teikne grafen.

Monotonieigenskapar

Å finne ut kor grafen til ein funksjon stig, og kor grafen søkk, blir kalla for å drøfte funksjonen sine monotonieigenskapar.

Å drøfte ein funksjon tyder gjerne at vi skal undersøkje monotonieigenskapane og bestemme topp- og botnpunkt på grafen.

Drøfting av polynomfunksjonar

Utfordring!

Teikn grafen av tredjegradsfunksjonen f gitt ved fx=13x3-12x2-2x+1.

Teikn deretter tangentar til grafen for nokre x-verdiar mellom -2 og 3.

Undersøk om det er ein samanheng mellom tangentane sine stigingstal og om grafen stig, søkk eller har topp- eller botnpunkt.

Bilde av ulike detaljer på grafen
Ser du at

- Stigingstalet til tangenten er positivt når grafen stig.
- Stigingstalet til tangenten er negativt når grafen søkk.
- Stigingstalet til tangenten er null i topp- og botnpunkter.

Sidan stigingstalet for tangenten er lik den deriverte av funksjonen tyder dette at

Når grafen stig, er den deriverte positiv. Det motsette gjeld også. Dersom den deriverte er positiv, stig grafen.

Når grafen søkk, er den deriverte negativ. Det motsette gjeld også. Dersom den deriverte er negativ, søkk grafen.

Når grafen har topp- eller botnpunkt, er den deriverte lik null.

Dette tyder at vi kan finne ut for kva for verdiar av x grafen av ein funksjon stig, for kva for verdiar av x han søkk, og når han har topp- eller botnpunkt ved å sjå på forteiknet til den deriverte. Vi viser dette gjennom nokre eksempel.

Eksempel 1

Eksempel 1

Finn ved rekning når grafen av funksjonen f gitt ved fx=-x2+4x-3 stig, og når den søkk. Finn også eventuelle topp- og botnpunkt.


Løysing
Vi deriverer f(x)

fx = -x2+4x-3f'x=-2x+4


Vi set så f'x=0

-2x+4 = 0    -2x=-4        x=2


Det er berre i nullpunkta at uttrykket for den deriverte kan skifte forteikn. Vi vel difor tilfeldige
x-verdiar i kvart av dei aktuelle intervalla , 2 og 2,  for å sjå om uttrykket er positivt eller negativt.

f'0=-2·0+4=4>0f'3=-2·3+4=-2<0

Vi kan da setje opp forteiknslinja til f'x

Døme 1 forteiknslinje

Vi ser av forteiknslinja at grafen veks for , 2 og at grafen minkar når 2, .

Grafen til f(x) har difor eit toppunkt når x=2.


f2=-22+4·2-3=-4+8-3=1

Toppunktet er (2, f(2))=(2, 1)

Funksjonen har maksimalpunkt x=2 og maksimalverdi f(2)=1.

Vi teiknar grafen i GeoGebra, og ser at det vi har funne ut ved rekning er riktig.

Sammenligning av graf og fortegnslinje. graf.
Eksempel 2

Eksempel 2

Funksjonen f er gitt ved fx=13x3-12x2-2x+1.
Drøft monotoniegenskapane til f og finn eventuelle topp- og botnpunkt på grafen av f.

Løysing
Vi deriverer f(x)

fx = 13x3-12x2-2x+1f'x=13·3·x2-12·2·x1-2f'x=x2-x-2


Vi set så f'x=0
x2-x-2 = 0         x=--1±-12-4·1·-22·1         x=1±92         x=-1 eller x=2


Det er berre i nullpunkta at uttrykket for den deriverte kan skifte forteikn. Vi vel difor tilfeldige verdiar i kvart av dei aktuelle intervalla , -1, -1, 2 og 2,  for å sjå om uttrykket er positivt eller negativt.

.

f'-2 = -22--2-2=4>0f'0=02-0-2=-2<0f'3=32-3-2=4>0

Vi kan då setje opp forteiknslinja til f'x

fortegnslinje. illustrasjon.

Vi ser av forteiknslinja at:
  • Grafen stig for , -1 og 2, 
  • Grafen søkk for -1, 2

Grafen av f(x) har altså eit toppunkt når x=-1 og et botnpunkt når x=2.

f-1 = 13-13-12-12-2-1+1=13-12+2+1       =26-36+126+66=136


f2 = 1323-1222-22+1=83-42+4+1     =166-126-246+66=-146=-73



Toppunktet er -1, f-1=-1, 136.

Botnpunktet er 2, f2=2, -73.

Funksjonen har maksimalpunkt x=-1 og maksimalverdi f-1=136

Funksjonen har minimalpunkt x=2 og minimalverdi f2=-73

eksempel på grafe. Graf.

Maksimalpunkt og minimalpunkt kallar vi ekstremalpunkt. Andrekoordinaten til eit toppunkt er ein maksimalverdi til funksjonen, og andrekoordinaten til eit botnpunkt er ein minimalverdi. Maksimal- og minimalverdiane er ofte lokale maksimal- og minimalverdiar. Det vil seie at dei er maksimal- og minimalverdiar i eit intervall omkring ekstremalpunktet.

Eksempel 3

Eksempel 3

Drøft monotonieigenskapane til funksjonen f gitt ved fx=13x3-2x2+4x-53

Løysing
Vi deriverer f(x)

fx = 13x3-2x2+4x-53f'x=x2-4x+4

Vi set så f'x=0
x2-4x+4 = 0           x=--4±-42-4·1·42·1           x=4±02           x=2

Vi får berre ei løysing.

Vi tar stikkprøver i kvart av dei to intervalla , 2 og 2, 

f'0 = 02-4·0+4=4>0f'3=32-4·3+4=9-12+4=1>0

Vi kan då setje opp forteiknslinja til f'x
Døme 3 forteiknslinje

Denne forteiknslinja er spesiell sidan den deriverte ikkje skiftar forteikn i nullpunktet. Den deriverte er positiv for x2. Det tyder at funksjonen veks både før og etter at x=2. Grafen har verken topp- eller botnpunkt for x=2. Men sidan den deriverte er lik null, er tangenten til grafen horisontal for x=2. Eit slikt punkt på grafen blir kalla for eit terrassepunkt.

Nedanfor har vi teikna grafen av f med terassepunktet.
eksempel på grafe. Graf.

Stasjonære punkt

I eit stasjonært punkt er f'(x)=0.
Eit stasjonært punkt er eit toppunkt eller eit botnpunkt om f(x) skiftar forteikn i punktet.
Eit terrassepunkt er eit stasjonært punkt der funksjonen ikkje endrar seg frå veksande til avtakande eller frå avtakande til veksande. Det vil seie at den deriverte ikkje skiftar forteikn.

Læringsressursar

Drøfting av polynomfunksjonar

SubjectEmne

Fagstoff

SubjectEmne

Oppgaver og aktiviteter