1. Home
  2. 1T - Matematikk fellesfagChevronRight
  3. FunksjonarChevronRight
  4. Vekstfart og derivasjonChevronRight
  5. DerivasjonsreglarChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Derivasjonsreglar

Det er ikkje nødvendig å bruke definisjonen av den deriverte kvar gong vi skal derivere eit utrykk. Ved å bruke definisjonen på nokre generelle uttrykk, kan vi komme fram til generelle derivasjonsreglar. Det er desse formlane vi vanlegvis bruker, og det er veldig viktig at du lærer deg dei!

Den deriverte av ein konstant funksjon

Grafen av ein konstant funksjon

Grafen av ein konstant funksjon er ei linje parallell med x-aksen. Ei slik linje har stiging lik null, difor er den deriverte av ein konstant funksjon lik null.

Vi får som generell regel

Funksjonstype
Funksjon
Den deriverte funksjonen
Konstant funksjonf(x)=k
f'(x)=0

Eksempel 1

f(x) = 3f'(x)=0

Eksempel 2

f(x) = πf'(x)=0

Eksempel 3

f(x) = 3π2f'(x)=0

Den deriverte av ein potensfunksjon

Vi vil finne den deriverte funksjonen av f(x) = x2. Vi bruker definisjonen

f'x = limΔx0ΔyΔx=limΔx0fx-Δx-fxΔx=limΔx0x-Δx2-x2Δx=limΔx0x2+2·x·Δx+Δx2-x2Δx=limΔx02·x·Δx+Δx2Δx=limΔx0Δx2·x+ΔxΔx=limΔx02x+Δx=2x

Vi har vist at x2'=2x. Tilsvarande kan vi vise at x3'=3x2 og at x4'=4x3.

Ser du mønsteret? Det kan visast at generelt er xn'=nxn-1 same kva for tal n er.

Funksjonstype
Funksjon
Den deriverte funksjonen
Potensfunksjon f(x)=xn
f'(x)=n·xn-1

Eksempel 1

fx = x2f'x=2x2-1=2x1=2x

Eksempel 2

fx = x3f'x=3x3-1=3x2

Eksempel 3

fx = x5f'x=5x4

Potensfunksjon multiplisert med konstant

Det kan visast at følgjande regel gjeld for produktet mellom ein konstant og ein potensfunksjon.

Funksjonstype
Funksjon
Den deriverte funksjonen
Potensfunksjon multiplisert
med konstant
f(x)=k·xn
f'(x)=k·xn'=k·n·xn-1

Eksempel 1

fx = 3x2f'x=3·x2'=3·2x=6x

Eksempel 2

fx = 3x4f'x=3·4·x4-1=12x3

Den deriverte av summar og differansar

Det kan visast at vi kan derivere summar og differensar ved å derivere ledd for ledd.

FunksjonstypeFunksjon
Den deriverte funksjonen
Summar og differansar f(x)=g(x)+h(x)
f'(x)=g'(x)+h'(x)

Eksempel 1

fx = 3-x2f'x=0-2x=-2x

Eksempel 2

fx = x3+5x2f'x=3x2+5·2x=3x2+10x

Eksempel 3

fx = ax+bf'x=a

Derivasjon av polynomfunksjonar

Ved å bruke reglane ovanfor er du no i stand til å derivere alle polynomfunksjonar.

Legg merke til siste døme. Den deriverte av ei rett linje blir lik stigningstalet til linja.

Læringsressursar

Vekstfart og derivasjon