1. Home
  2. 1T - Matematikk fellesfagChevronRight
  3. FunksjonarChevronRight
  4. Vekstfart og derivasjonChevronRight
  5. Gjennomsnittleg vekstfartChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Gjennomsnittleg vekstfart

Når ein funksjon ikkje er lineær, vil vekstfarten variere frå stad til stad på kurva. Jo brattare kurva er, jo større er vekstfarten.

Illustrasjon av grafer og punkter

Vi kan finne den gjennomsnittlege vekstfarten over eit intervall x1, x2 på denne måten:

Vi trekkjer ei rett linje, sekant, gjennom punkta x1, fx1 og x2, fx2.
Vi reknar så ut stigingstalet til denne sekanten:

a=ΔyΔx=fx2-fx1x2-x1

Vi har no funne eit mål for gjennomsnittleg vekstfart for funksjonen når x aukar frå x1 til x2.

Gjennomsnittleg vekstfart. Stigingstalet til sekanten

Den gjennomsnittlege vekstfarten for ein funksjon f(x) når x veks frå x1 til x2, er lik stigingstalet til sekanten gjennom punkta x1, fx1 og x2, fx2.

a=ΔyΔx=fx2-fx1x2-x1

Ein sekant er ei rett linje som skjer ei krum kurve i minimum to punkt.

Eksempel

To gutter sammenligner høyden. Foto.

Som 13-åring var Niels Henrik 149 cm høg. Fire år seinare var han 181 cm. Vi lèt x vere alderen til Niels Henrik og y vere høgda. Vi får at den gjennomsnittlege vekstfarten til Nils Henrik i fireårsperioden blir

ΔyΔx=181 cm-149 cm4 år=32 cm4 år=8cmår.

Eksempel

Vekstfart. Graf.

Ein funksjon f er gitt ved fx=x2+2.

Vi ønskjer å finne den gjennomsnittlege vekstfarten til f når x veks frå x=0,5 til x=2.

Gjennomsnittleg vekstfart:

ΔyΔx =  f2-f0,52-0,5    =22+2-0,52+22-0,5    =6-2,251,5    =2,5

Dette kan også reknast ut med CAS i GeoGebra; sjå neste eksempel.


Eksempel

Morelltre i motlys. Foto.
Morelltre i bløming

I 2006 planta Elin eit morelltre.

Funksjonen h gitt ved

hx=-0,003x3+0,09x2+1     x0, 20

viser høgda av morelltreet i meter x år etter at det vart planta.

Vi ønskjer å finne kor mykje treet vaks i gjennomsnitt per år i perioden 2007 til 2013.

I GeoGebra teiknar vi først grafen til h. Deretter avset vi punkta A=1, h1 og B=7, h7.

Så brukar vi verktøyknappen «Linje» for å teikne linja gjennom dei to punkta. Så brukar vi til dømes knappen «Stiging» for å finne stigingstalet til linja.

Vi finn at stigingstalet til sekanten gjennom A og B er 0,5. Det vil seie at treet i gjennomsnitt har vakse med 0,5 meter per år i åra 2007 til 2013.

Vekstfart. Graf.
Gjennomsnittlig vekstfart i CAS. Bilde.

Vi kan også finne gjennomsnittleg vekstfart per år i perioden 2007 til 2013 ved CAS i GeoGebra.

Vi får same resultat som ovanfor.

Læringsressursar

Vekstfart og derivasjon