Hopp til innhald

  1. Home
  2. 1T - Matematikk fellesfagChevronRight
  3. FunksjonarChevronRight
  4. Ikkje-linære funksjonstyparChevronRight
  5. AndregradsfunksjonarChevronRight
TasksAndActivitiesOppgaver og aktiviteter

Oppgave

Andregradsfunksjonar

4.3.1

a) Sjå på dei fire funksjonsuttrykka nedanfor og finn ut ved rekning

  • kva veg grafane av funksjonane krummar (smileller sur )
  • kva for nokre av grafane som har toppunkt og kva for nokre som har botnpunkt
  • kor grafane skjer andreaksen
  • likninga for symmetrilinja til kvar av grafane
  • koordinatane til topp
  • eller botnpunktet til kvar av grafane
  • verdimengda til funksjonane
  • nullpunkta til funksjonane

fx=x2-7x+12

vis fasit

Når fx=ax2+bx+c og a>0,vil grafen vende si hule side opp (smile). Grafen vil da ha e i t b otn punkt. Grafen skjer andreaksen i 12 fordi konstantleddet, c=12.

Symmetrilinja er x=-b2a=72

Botnpunkt har koordinatar 72, f72=72, -14

f72=722-7·72+12=-14

Verdimengda blir da -14, 

For å finne nullpunkta løyser vi likninga

fx = 0x2-7x+12=0x=7±72-4·122=7±12x1=3   x2=4

Nullpunkta er 3 og 4.

gx=-2x2+2x+4

vis fasit

Når fx=ax2+bx+c og a<0, vil grafen vende si hule side ned (sur). Grafen vil da ha eit toppunkt. Grafen skjer andreaksen i 4 fordi konstantleddet, c=4.

Symmetrilinja er x=-22·-2=12

Toppunktet har koordinatar (12, 92)

Verdimengda blir da ,92

For å finne nullpunkt a løyser vi likninga

gx = 0-2x2+2x+4=0x=-2±-22-4·-2·42·-2=-2±6-4x1=-1   x2=2

Nullpunkta er -1 og 2.

hx=-x2-8

vis fasit

Når fx=ax2+bx+c og a<0, vil grafen vende si hule side ned (sur). Grafen vil da ha eit toppunkt. Grafen skjer andreaksen i -8 fordi konstantleddet, c=-8.

Symmetrilinja: x=-b2a=0-2=0

Toppunkt faller da saman med skjering med andreaksen: 0, -8

Verdimengda: ,-8

Grafen til h ligg under x-aksen. Vf=,-8 Funksjonen har derfor ingen nulpunkt.

ix=3x2+12x

vis fasit

Når fx=ax2+bx+c og a>0, vil grafen vende si hule side opp (smile). Grafen vil da ha eit botnpunkt. Grafen skjer andreaksen i 0 fordi konstantleddet, c=0

Symmetrilinja blir x=-b2a=-122·3=-2

Botnpunktet har koordinatar -2, i-2=-2, -12

i-2=3·-22+12·-2=-12

Verdimengda blir da -12, 

For å finne nullpunkta løyser vi likninga

ix = 03x2+12x=03xx+4=0x1=-4   x2=0

Nullpunkta er -4 og 0.

b) Sjekk svara i a) ved å teikne grafane av funksjonane i eit koordinatsystem.

vis fasit
Grafer. Illustrasjon.

4.3.2

Funksjonen f er gitt ved fx=x2+x-6 for x-verdiar mellom -4 og 3.

a) Teikn grafen til f.

vis fasit
Graf. Illustrasjon.

b) Finn botnpunktet til grafen av f grafisk og ved rekning.

vis fasit

Eg bruker kommandoen «Ekstremalpunktf» i GeoGebra. Vi ser av grafen at botnpunktet er

Vi ser av grafen at botnpunktet er 0.5, -6.25.

Ved rekning

Symmetrilinja blir x=-12·1=-0,5

y-verdien blir da f-0,5=-0,52-0,5-6=-6,25

Botnpunktet blir -0.5, -6.25

c) Finn grafisk kor grafen av f skjer koordinataksane.

vis fasit
Graf. Illustrasjon.

Grafen til f skjer førsteaksen i -3, 0 og 2, 0

Grafen til f skjer andreaksen i 0, -6

d) Bestem ved rekning hvor grafen til f skjer koordinataksane.

vis fasit

Grafen skjer andreaksen når x=0:

f0=-6

Skjeringspunkt 0,-6.

Grafen skjer andreaksen når y=0

fx = 0x2+x-6=0x=-1±12-4·-62x=-3          x=2

Grafen skjer førsteaksen i punkta -3, 0 og 2, 0.

e) Kva er verdimengda til f?

vis fasit

I denne oppgåva skulle vi velge x-verdiar fra og med -4 til og med 3.

Definisjonsmengden Df til funksjonen blir dermed Df=-4, 3

Den lågaste verdien av funksjonen f er -6,25. Me ser grafisk at den høgste verdien til funksjonen er 6.

Verdimengda Vf blir dermed Vf=-6.25, 6

4.3.3

Andreas kastar eit spyd.

Grafen til funksjonen f gitt ved fx=-0,01x2+0,85x+2,20 skildrar banen spydet følgjer gjennom luften.

Her er x meter målt langs bakken frå staden der Andreas kastar spydet, og fx meter er høgda spydet har over bakken.

a) Teikn grafen til f for x0.

vis fasit

Eg teiknar grafen i GeoGebra ved å skrive inn «fx=Funksjon-0.01x2+0.85x+2.20, 0, 

Graf til funksjon. Illustrasjon.

b) Bestem skjeringspunkta mellom grafen til f og aksane.

Bestem toppunktet på grafen til f.

vis fasit

Eg finn skjeringspunkta mellom aks a ne og grafen ved å bruke kommandoen «Skjering mellom to objekt».

Grafen skjer x-aksen for x=87,5 og y-aksen for y=2,2.

Eg finn toppunktet ved å bruke kommandoen «Ekstremalpunkt <Polynom>».

Toppunktet er 42.5, 20.3

c) Kva fortel svara i b) om spydkastet?

vis fasit

Andreas kastar ut spydet 2,2 meter over bakken. Spydet når ei høgde på litt over 20 meter og lengd a på kastet er 87,5 meter.

4.3.4

Camilla kastar ein ball rett opp i lufta. Etter t sekund er høgda h meter over bakken gitt ved andregradsfunksjonen ht=14,1t-4,9t2+1,8.

a) Teikn grafen til h for de første 3 sekundene.

vis fasit
Graf som viser kurven til an ball som kastes. Illustrasjon.

b) Kva tid er ballen 10 meter over bakken?

vis fasit

Eg teiknar linja y=10. Eg finn skjeringspunktet mellom denne linja og grafen til h med kommandoen «Skjering mellom to objekt». Sjå punkta D og E.

Ballen er 10 meter over bakken etter 0,8 sekund og etter 2,1 sekund.

c) Kva tid treff ballen bakken?

vis fasit

Eg finn nullpunktet med kommandoen «Nullpunkth». Se punkt C. Ballen treff bakken etter 3 sekund.

d) Kva tid er ballen 15 meter over bakken?

vis fasit

Vi ser av grafen at ballen aldri når denne høgda!

e) Kor høgt når ballen og kva tid er ballen på sitt høgaste punkt?

vis fasit

Eg finn toppunktet med kommandoen«Ekstremalpunkth» Sjå punkt A. Ballen når sitt høgaste punkt etter ca. 1,4 sekund og har då ei høgde på 12,0 meter over bakken.

4.3.5

Gitt grafane nedanfor.

Andregradspolynomer. Illustrasjon.

Sett rett bokstav (A, B, C) framfor den andregradsfunksjonen du meiner høyrer til graf A, graf B og graf C. Prøv deg utan å teikne grafane.

OBS! Tre av funksjonsuttrykka høyrer ikkje til nokon av grafane.

fx = x2-2x+2fx=-x2-2x+2fx=2x2-2x+2fx=-0,5x2-2x+2fx=0,5x2-2x-6fx=-x2+4x-6

vis fasit

B fx = x2-2x+2fx=-x2-2x+2fx=2x2-2x+2A fx=-0,5x2-2x+2fx=0,5x2-2x-6C fx=-x2+4x-6

Læringsressursar

Ikkje-linære funksjonstypar

SubjectEmne

Fagstoff

SubjectEmne

Oppgaver og aktiviteter