Hopp til innhald

  1. Home
  2. 1T - Matematikk fellesfagChevronRight
  3. FunksjonarChevronRight
  4. Ikkje-linære funksjonstyparChevronRight
  5. PotensfunksjonarChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Potensfunksjonar

I dette dømet skal vi sjå at vi kan ende opp med ein potensfunksjon sjølv om vi har eksponentiell vekst.

Stabler med mynter i stigende rekkefølge. Foto.

Live arvar 300 000 kroner. Ho vil spare pengane.

Den lokale banken tilbyr ei årleg rente på 3% per år. Dette svarar til ein vekstfaktor på 1,03. Live reknar det som sannsynleg at ho vil få bruk for pengane om 10 år. Kor mykje vil beløpet ha vakse til etter 10 år?

300 000·1,0310=403 175

Beløpet vil ha vakse til ca. 403175 kroner.

Live veit at det finst alternativ til banksparing, og ho vil undersøkje kva beløpet kan vekse til etter 10 år, dersom renta er høgare enn 3%.

Ho ser då at ho kan bruke funksjonen B gitt ved

Bx=300 000·x10

Her er det vekstfaktoren som er den variable , x.

Live teiknar grafen av B for x1.03, 1.12

Potensfunksjoner graf 1

Av grafen kan ho sjå at ved ei årleg rente på 3%, vil beløpet vekse til ca. 403 000 kroner etter 10 år. Dersom renta er på 8% per år, vil beløpet vekse til ca. 648 000 kroner og dersom ho kan få ei rente på 11% per år, altså at vekstfaktoren er 1,11, vil ho sitje med ca. 852 000 etter 10 år.

I funksjonsuttrykket Bx=300 000·x10 er x grunntalet i ein potens der eksponenten er eit konstant tal. Ein slik funksjon kallar vi ein potensfunksjon.

Potensfunksjonar

Ein funksjon f gitt ved fx=a·xb, der a og b er konstante tal, kallar vi ein potensfunksjon.

Legg merke til at når b er eit ikkjenegativt heilt tal, er potensfunksjonen også ein polynomfunksjon, som til dømes 2x, 3x2 , osb.

Når b er eit negativt heilt tal, er potensfunksjonen ein rasjonal funksjon, som til dømes x-4=1x4, 2x-1=2x osb.

Når b ikkje er eit heilt tal, må vi føresetje at x er positiv. Grunnen er at til dømes x0,5 tyder det same som x , og kvadratrota av eit negativt tal er ikkje eit reelt tal.

Nedanfor har vi teikna grafane til nokre funksjonar gitt på formen 2xb. I tillegg kan du dra i glidaren for å sjå korleis potensfunksjonen ser ut for andre verdiar av b.

Kvifor går alle grafane gjennom punktet 1, 2?

Korleis ser grafen ut når b=1?

Grafane endrar hovudform etter om b, 0, b0, 1 eller b1, .

Legg merke til at grafen av ein potensfunksjon f gitt ved fx=a·xb alltid går gjennom punktet 1, a fordi f1=a·1b=a.

Døme

Pendel med lodd i en snor. Foto.

Når ein pendel svingar, er svingetida, det vil seie den tida det tar frå vi slepper pendelen til han kjem tilbake til utgangspunktet, avhengig av lengda på snora som pendelkula heng i.

Frå naturfag kjenner du kanskje formelen for svingetida sekund, som funksjon av snorlengda x meter?

Formelen gir at

Potensfunksjoner graf 3

T=2πg·x=2πg·x0,5

Her er π3,14 og g9,81 (g er tyngdeakselerasjonen).

Når vi set inn desse verdiane i formelen, får vi

T2·3,149,81·x0,5=2,0·x0,5

Svingetida til ein pendel er altså ein potensfunksjon av snorlengda.

Vi veit også at x0,5=x, slik at svingetida kan uttrykkast som

T=2x

Nå er svingetida uttrykt som ein funksjon.

Læringsressursar

Ikkje-linære funksjonstypar

SubjectEmne

Fagstoff

SubjectEmne

Oppgaver og aktiviteter