Hopp til innhald

  1. Home
  2. 1T - Matematikk fellesfagChevronRight
  3. PolynomfunksjonarChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Polynomfunksjonar

Ein polynomfunksjon er ein funksjon som har eit polynom som funksjonsuttrykk.

Definisjon

Eit polynom er eit uttrykk med eitt eller fleire ledd, der kvart ledd består av ein konstant multiplisert med xn, der n er eit ikkje-negativt heiltal. Den høgaste eksponenten i uttrykket gir oss graden til polynomet. Uttrykket  x-4+2x3  er eit tredjegradspolynom fordi den høgaste eksponenten i uttrykket er 3.

Ein polynomfunksjon er ein funksjon som har eit polynom som funksjonsuttrykk.

Uttrykket  3x+3  er eit polynom av første grad fordi x er av første grad. Uttrykket  2x2-2x+4  er eit polynom av andre grad fordi vi her har eit ledd der x er opphøgd i andre potens, og to er den høgaste eksponenten x har. x-4+2x3  er eit døme på eit tredjegradspolynom fordi den høgaste eksponenten av x her er 3.

Det er vanleg å ordne eit polynom slik at leddet med den høgaste eksponenten kjem først, leddet med nest høgast eksponent kjem som nummer to og så vidare. Fjerdegradspolynomet  -5+3x3-x2+7x4  skriv vi på ordna form som  7x4+3x3-x2-5. Tala framfor potensane av x kallar vi koeffisientar. I dette fjerdegradspolynomet er koeffisienten framfor x2 lik -1.

Lineære funksjonar og andregradsfunksjonar er polynomfunksjonar av høvesvis første og andre grad. Tredjegradsfunksjonar er polynomfunksjonar av tredje grad.

Generelt om tredjegradsfunksjonar

Vi teiknar grafen av tredjegradsfunksjonen f gitt ved

fx=13x3+12x2-x-1

Tredjegradsfunksjonen f av x er lik ein tredels x i tredje pluss ein halv x i andre minus x minus 1 teikna i eit koordinatsystem og med markering av toppunktet, botnpunktet, nullpunkta og skjeringspunktet med andreaksen. Illustrasjon.

Nullpunkt

Funksjonen har nullpunkta  x=-2,2,  x=-0,8  og  x=1,6.

Skjering med 𝑦-aksen

Grafen skjer y-aksen for  x=0. Skjeringspunktet er 0, -1.

Topp- og botnpunkt

Grafen har toppunkt -1.6, 0.5.
Grafen har botnpunkt 0.6, -1.3.

For andregradsfunksjonar sa vi at ein funksjon hadde sin lågaste verdi i botnpunktet og høgaste verdi i toppunktet. Ein tredjegradsfunksjon kan ha høgare verdiar enn i toppunktet andre stader på grafen. Vi seier likevel at grafen har eit toppunkt sjølv om det berre er lokalt.

Ekstremalpunkt

Du har sett at kommandoen i GeoGebra for å finne topp- eller botnpunkt er «Ekstremalpunkt[<Polynom>]».

I eksamensrettleiinga 2019 frå Utdanningsdirektoratet blir ekstremalpunkt definert som førstekoordinaten til eit topp- eller botnpunkt. Ekstremalverdi er andrekoordinaten til eit topp- eller botnpunkt.

Eit ekstremalpunkt er eit felles namn for maksimal- eller minimalpunkt.

Eit maksimalpunkt er førstekoordinaten til eit toppunkt. Andrekoordinaten blir kalla ein maksimalverdi.

Eit minimalpunkt er førstekoordinaten til eit botnpunkt. Andrekoordinaten blir kalla ein minimalverdi.

Kjelde

Utdanningsdirektoratet (2019). Eksamensrettleiing – om vurdering av eksamenssvar. 2019. Matematikk. Sentralt gitt skriftleg eksamen. Studieførebuande og yrkesfaglege utdanningsprogram. Kunnskapsløftet LK06. Oslo: Utdanningsdirektoratet.