Hopp til innhald

Fagartikkel

Polynomfunksjonar

Eit polynom av andre grad er til dømes ein andregradsfunksjon, der vi har 𝑥 i andre potens. Tilsvarande kan eit polynom av tredje grad vera ein tredjegradsfunksjon der vi har 𝑥 i tredje potens.

(CC BY-NC-SA)Sist oppdatert 06.06.2019

Definisjon

Eit polynom er eit uttrykk med eitt eller fleire ledd, der kvart ledd består av ein konstant multiplisert med $x^{n}$ , der $n$ er eit ikkje-negativt heiltal. Den høgste eksponenten i uttrykket gir oss graden til polynomet. Uttrykket $x - 4 + 2 x^{3}$ er eit tredjegradspolynom fordi den høgste eksponenten i uttrykket er tre.

Ein polynomfunksjon er ein funksjon som har eit polynom som funksjonsuttrykk.

Uttrykket $3 x + 3$ er eit polynom av første grad, fordi $x$ er av første grad. Uttrykket $2 x^{2} - 2 x + 4$ er eit polynom av andre grad, fordi vi her har eit ledd der $x$ er opphøgd i andre potens, og to er den høgste eksponenten $x$ har. $x - 4 + 2 x^{3}$ er eit døme på eit tredjegradspolynom fordi den høgste eksponenten av $x$ her er tre.

Det er vanleg å ordne eit polynom slik at leddet med den høgste eksponenten kjem først, leddet med nest høgst eksponent kjem som nummer to osb. Fjerdegradspolynomet $- 5 + 3 x^{3} - x^{2} + 7 x^{4}$ skriv vi på ordna form som $7 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 5$ . Tala framfor potensane av $x$ kallar vi koeffisientar. I dette fjerdegradspolynomet er koeffisienten framfor $x^{2}$ lik $- 1$ .

Lineære funksjonar og andregradsfunksjonar er polynomfunksjonar av høvesvis første og andre grad. Tredjegradsfunksjonar er polynomfunksjonar av tredje grad.

Vi teiknar grafen av tredjegradsfunksjonen $f$ gitt ved

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - x - 1$

Tredjegradsfunksjonen f av x er lik ein tredels x i tredje pluss ein halv x i andre minus x minus 1 teikna i eit koordinatsystem og med markering av toppunktet, botnpunktet, nullpunkta og skjeringspunktet med andreaksen. Illustrasjon. — Tredjegradsfunksjon med toppunkt, bunnpunkt, nullpunkter og skjæringspunkt med andreaksen
Denne lisensen gjev deg rett til å dela og bruka dette innhaldet på visse vilkår.
Du må alltid oppgi kven som har laga innhaldet.
Du kan ikkje tene pengar på bruk av dette innhaldet.
Du kan berre dele innhaldet med same lisens som det opphavlege innhaldet.
Olav Kristensen, Stein Aanensen

Nullpunkt

Funksjonen har nullpunkta $x = - 2, 2, x = - 0, 8 og x = 1, 6$ .

Skjering med 𝑦-aksen

Grafen skjer $y$ -aksen for $x = 0$ . Skjeringspunktet er $(0, - 1)$ .

Topp- og botnpunkt

Grafen har toppunkt $(- 1.6, 0.5)$ .
Grafen har botnpunkt $(0.6, - 1.3)$ .

For andregradsfunksjonar sa vi at ein funksjon hadde sin lågaste verdi i botnpunktet og høgaste verdi i toppunktet. Ein tredjegradsfunksjon kan ha høgare verdiar enn i toppunktet andre stader på grafen. Vi seier likevel at grafen har eit toppunkt sjølv om det berre er lokalt.

Ekstremalpunkt

Du har sett at kommandoen i GeoGebra for å finne topp- eller botnpunkt er «Ekstremalpunkt[<Polynom>]».

I Eksamensrettleiing 2019 frå Utdanningsdirektoratet definerast ekstremalpunkt som førstekoordinaten til eit topp- eller botnpunkt. Ekstremalverdi er andrekoordinaten til eit topp- eller botnpunkt.

Eit ekstremalpunkt er eit fellesnamn for maksimal- eller minimalpunkt.

Eit maksimalpunkt er førstekoordinaten til eit toppunkt. Andrekoordinaten kallast ein maksimalverdi.

Eit minimalpunkt er førstekoordinaten til eit botnpunkt. Andrekoordinaten kallast ein minimalverdi.

Læringsressursar

Ikkje-linære funksjonstypar