Hopp til innhald

  1. Home
  2. 1T - Matematikk fellesfagChevronRight
  3. FunksjonarChevronRight
  4. Ikkje-linære funksjonstyparChevronRight
  5. PolynomfunksjonarChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Polynomfunksjonar

Eit polynom av andre grad er til dømes ein andregradsfunksjon, der vi har 𝑥 i andre potens. Tilsvarande kan eit polynom av tredje grad vera ein tredjegradsfunksjon der vi har 𝑥 i tredje potens.

Definisjon

Eit polynom er eit uttrykk med eitt eller fleire ledd, der kvart ledd består av ein konstant multiplisert med xn, der n er eit ikkje-negativt heiltal. Den høgste eksponenten i uttrykket gir oss graden til polynomet. Uttrykket  x-4+2x3  er eit tredjegradspolynom fordi den høgste eksponenten i uttrykket er tre.

Ein polynomfunksjon er ein funksjon som har eit polynom som funksjonsuttrykk.

Uttrykket  3x+3  er eit polynom av første grad, fordi x er av første grad. Uttrykket  2x2-2x+4  er eit polynom av andre grad, fordi vi her har eit ledd der x er opphøgd i andre potens, og to er den høgste eksponenten x har. x-4+2x3  er eit døme på eit tredjegradspolynom fordi den høgste eksponenten av x her er tre.

Det er vanleg å ordne eit polynom slik at leddet med den høgste eksponenten kjem først, leddet med nest høgst eksponent kjem som nummer to osb. Fjerdegradspolynomet  -5+3x3-x2+7x4  skriv vi på ordna form som  7x4+3x3-x2-5. Tala framfor potensane av x kallar vi koeffisientar. I dette fjerdegradspolynomet er koeffisienten framfor x2 lik -1.

Lineære funksjonar og andregradsfunksjonar er polynomfunksjonar av høvesvis første og andre grad. Tredjegradsfunksjonar er polynomfunksjonar av tredje grad.

Vi teiknar grafen av tredjegradsfunksjonen f gitt ved

fx=13x3+12x2-x-1

Tredjegradsfunksjonen f av x er lik ein tredels x i tredje pluss ein halv x i andre minus x minus 1 teikna i eit koordinatsystem og med markering av toppunktet, botnpunktet, nullpunkta og skjeringspunktet med andreaksen. Illustrasjon.
Tredjegradsfunksjon med toppunkt, bunnpunkt, nullpunkter og skjæringspunkt med andreaksen

Nullpunkt

Funksjonen har nullpunkta  x=-2,2,  x=-0,8  og  x=1,6.

Skjering med 𝑦-aksen

Grafen skjer y-aksen for x=0. Skjeringspunktet er 0, -1.

Topp- og botnpunkt

Grafen har toppunkt -1.6, 0.5.
Grafen har botnpunkt 0.6, -1.3.

For andregradsfunksjonar sa vi at ein funksjon hadde sin lågaste verdi i botnpunktet og høgaste verdi i toppunktet. Ein tredjegradsfunksjon kan ha høgare verdiar enn i toppunktet andre stader på grafen. Vi seier likevel at grafen har eit toppunkt sjølv om det berre er lokalt.

Ekstremalpunkt

Du har sett at kommandoen i GeoGebra for å finne topp- eller botnpunkt er «Ekstremalpunkt[<Polynom>]».

I Eksamensrettleiing 2019 frå Utdanningsdirektoratet definerast ekstremalpunkt som førstekoordinaten til eit topp- eller botnpunkt. Ekstremalverdi er andrekoordinaten til eit topp- eller botnpunkt.

Eit ekstremalpunkt er eit fellesnamn for maksimal- eller minimalpunkt.

Eit maksimalpunkt er førstekoordinaten til eit toppunkt. Andrekoordinaten kallast ein maksimalverdi.

Eit minimalpunkt er førstekoordinaten til eit botnpunkt. Andrekoordinaten kallast ein minimalverdi.

Læringsressursar

Ikkje-linære funksjonstypar

SubjectEmne

Fagstoff

SubjectEmne

Oppgaver og aktiviteter