Hopp til innhald

  1. Home
  2. 1T - Matematikk fellesfagChevronRight
  3. Praktiske eksempel med eksponentialfunksjonarChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Praktiske eksempel med eksponentialfunksjonar

Det typiske eksempelet på eksponentiell vekst er sparepengar som står i banken

Eksempel

To ansiktslause miniatyrfigurar i dress står ved sida av tre pengestablar. Foto.

Dersom du set 1 000 kroner i banken i dag og får 6 % rente på pengane, kan du om eitt år ta ut kroner

1 000+1 000·6100 = 1 000·1+0,06=1 000·1,06

Etter to år kan du ta ut kroner

1 000·1,06·1+6100=1 000·1,062

Etter tre år kan du ta ut kroner

1 000·1,062·1+6100=1 000·1,063

Etter x år kan du ta ut kroner  1 000·1,06x.

Talet 1,06 kallar vi for vekstfaktoren.

Meir om vekstfaktor

Inneståande beløp, B, er ein funksjon av talet på år i banken, x, og funksjonsuttrykket blir

Bx=1 000·1,06x

Funksjonen blir kalla ein eksponentialfunksjon sidan den variable opptrer som eksponent i ein potens.

Graf som viser ein eksponetialfunksjon. Illustrasjon.

Grafen av funksjonen viser til dømes at beløpet på 1 000 kroner har vakse til 1 191 kroner etter 3 år (som vi rekna ut ovanfor) og til 2 693 kroner etter 17 år.

Kor lenge må pengane stå i banken før beløpet er dobla?

Vi finn svaret ved å teikne den rette linja  y=2·1 000=2 000  i same koordinatsystem som grafen av B og så finne skjeringspunktet mellom linja og grafen. Pengane må stå i banken i 12 år.

Dette kan vi òg finne ved rekning.

Vi set talet på år pengane må stå i banken lik x og får likninga

1 000·1,06x=2·1 000

Dette er ei eksponentiallikning.

Løysing av likning i CAS. Bilete.

Denne likninga løyser vi ved CAS i GeoGebra

Eksempel

Jente holder nøkkel til ny bil. Foto.

Kari kjøper ein fire år gammal bil for 200 000 kroner. Bilen har sokke i verdi med 10 % kvart år sidan han var ny. Kari reknar med at verdien vil søkke på same måte dei neste åra.

Når har verdien til bilen sokke til halvparten av det Kari betalte for han, og kva kan vi rekna med at verdien var då han var ny?

Verdien på bilen eitt år etter at Kari kjøpte han blir kroner

200 000-200 000·10100 = 200 000·1-10100=200 000·0,90

Verdien på bilen x år etter at Kari kjøpte han blir kroner 200 000·0,90x

Verdien av bilen, Vx, x år etter at Kari kjøpte han, er då gitt ved

Vx=200 000·0,90x

Graf

Vi teiknar grafen av V.

Vi teiknar den rette linja y=200 000·12=100 000 og finn skjeringspunktet mellom denne og grafen av V. Då ser vi at bilen er verdt 100 000 kroner om cirka seks og eit halvt år. Så skriv vi -4, V(-4) i inntastingsfeltet og får eit nytt punkt på grafen til V. Då ser vi at bilen kosta om lag 305 000 kroner då han var ny.

Utrekning av funksjonsverdi i CAS. Bilete.

Vi kan finne det same ved rekning. Hugs at du ikkje treng definere funksjonen på ny når han finst i algebrafeltet.