Hopp til innhald

  1. Home
  2. 1T - Matematikk fellesfagChevronRight
  3. FunksjonarChevronRight
  4. Ikkje-linære funksjonstyparChevronRight
  5. Nullpunkt, toppunkt, botnpunkt og symmetrilinjeChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Nullpunkt, toppunkt, botnpunkt og symmetrilinje

Ein andregradsfunksjon kan ha to, eitt eller ingen nullpunkt, men han vil alltid ha ei symmetrilinje.

Graf

Vi teiknar grafen til funksjonen fx=x2-4x+3 i GeoGebra og finn nullpunkta med kommandoen «Nullpunkt[f]».

Grafen har eit botnpunkt, sidan andregradsleddet er positivt. Vi finn botnpunktet med kommandoen «Ekstremalpunkt[f]». Grafen har botnpunkt 2, -1.

I koordinatsystemet har vi teikna inn symmetrilinja til f, linja x=2.

Vi ser at botnpunktet ligg på symmetrilinja. Symmetrilinja ligg også like langt frå kvart av parabelen sine nullpunkt.

Vi har sett at vi kan finne parabelen sine nullpunkt ved å løyse likninga fx=0.

x2-4x+3 = 0x=--4±-42-4·1·32·1x=4±16-122x=4±22x=2±1

Dersom vi stanser der, ser vi at x=2±1.

Dei to nullpunkta ligg like langt frå parabelen si symmetrilinje!

Det tyder at dei to nullpunkta ligg like langt frå linja x=2, og denne linja er altså parabelen si symmetrilinje.

Generelt er nullpunkta gitte ved

x = -b±b2-4ac2a=-b2a±b2-4ac2a

Det betyr at vi kan finne symmetrilinja og x-koordinaten til topp- eller botnpunktet ved å «fjerne» kvadratrota i uttrykket vi får når vi set f(x)=0 .

Gitt andregradsfunksjonen

fx=ax2+bx+c

Vi finn nullpunkta ved å løyse likninga f(x)=0 . Det gir

xNullpunkt=-b±b2-4ac2a

Vi finn symmetrilinja og x-koordinaten til topp- eller botnpunktet ved

xSymmetrilinje=-b2a

Det betyr at vi kan finne mykje informasjon om grafen til ein andregradsfunksjon ved enkel rekning utan å bruke digitale hjelpemiddel.

Eksempel: To nullpunkt

Graf

Gitt funksjonen gx=-x2+3x+4. Finn nullpunkta til funksjonen.

gx = 0-x2+3x+4=0x=-3±32-4·-1·42·-1x=-3±25-2x=-1      x=4

Funksjonen har nullpunkt for x=-1 og for x=4.

Symmetrilinja er gitt ved

x=-b2a=--32·-1=32=1,5

Vi ser at dette er x -verdien midt mellom -1 og 4.

Grafen har eit toppunkt, sidan andregradsleddet er negativt.
Toppunktet har koordinatane
1.5, g(1.5)=1.5, -1.52+3·1.5+4=1.5, (-2.25+4.5+4)=1.5, 6.25

Eksempel: Eitt nullpunkt

Graf

Gitt funksjonen hx=x2-4x+4. Finn eventuelle nullpunkt til funksjonen.

hx = 0x2-4x+4=0x=--4±-42-4·1·42x=--4±02=2

Nullpunktet er x=2.

Vi får berre eitt nullpunkt, sidan uttrykket under kvadratrota blir lik null.

Symmetrilinja er gitt ved

x=-b2a=--42·1=42=2.

Grafen har eit botnpunkt, sidan andregradsleddet er positivt. Nullpunktet fell saman med botnpunktet og ligg på symmetrilinja.

Vi veit at h(2)=0. Botnpunktet har koordinatane 2, h2=2, 0

Eksempel: Ingen nullpunkt

Graf

Gitt funksjonen kx=x2-4x+5.

Finn eventuelle nullpunkt til funksjonen.

kx = 0x2-4x+5=0x=--4±-42-4·1·52x=--4±-42

Vi får eit negativt tal under rotteiknet. Likninga har inga løysing. Det tyder at funksjonen ikkje har nullpunkt, og grafen av funksjonen kryssar aldri x-aksen.

Sidan konstantleddet c=5, veit vi at grafen skjer y-aksen i punktet 0, 5. Dette punktet ligg over x-aksen. Grafen ligg då over x-aksen for alle verdiar av x.

Vi finn symmetrilinja ved

x=-b2a=--42=42=2.

Grafen har eit botnpunkt, sidan andregradsleddet er positivt.
Botnpunktet har koordinatane 2, k2=2, 22-4·2+5=2, 1

Læringsressursar

Ikkje-linære funksjonstypar

SubjectEmne

Fagstoff

SubjectEmne

Oppgaver og aktiviteter