Hopp til innhald

  1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. FunksjonarChevronRight
  4. Matematiske modellarChevronRight
  5. Eksponentialfunksjon som modellChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Eksponentialfunksjon som modell

Når ein storleik har same prosentvise endring over fleire periodar av same lengd, til dømes over fleire år, har vi eksponentiell vekst.

Eksponentialfunksjonen som modell
Bilde av bruktbilder

Bilkjøp

Kari kjøper ein fire år gammal bil for 200 000 kroner. Verdien av bilen har minka med 10 % kvart år sidan han var ny. Vi reknar med at verdien vil halde fram å minke med 10 % per år dei neste åra.

Verdien av bilen V(x), x år etter at Kari kjøpte han, er då gitt ved modellen

V(x)=200 000·0,90x

Nedanfor har vi teikna grafen av funksjonen V.

Av grafen kan vi lese at bilen sin verdi vil ha sokke til
100 000 kroner etter 6,6 år.

Avlesing på grafen viser også at bilen sin verdi for 4 år sidan, altså prisen på bilen som ny, var nærmare
305 000 kroner.

Bilde av en graf

Funksjonen V ovanfor er ein eksponentialfunksjon.

Eksponentialfunksjonar kan skrivast på forma

f(x)=a·bx der a og b er konstante tal.

Legg merke til at x her er eksponent i potensen.

I algebrakapittelet såg vi at vi alltid kan finne matematiske modellar uttrykte ved eksponentialfunksjonar når storleikar minkar eller aukar med ein fast prosent.

For å finne ein eksponentiell modell ved regresjon må vi velje «Eksponentiell» som regresjonsmodell i GeoGebra.

Solsikke. Bilde.

Vekst hos solsikke

Siv ville finne ut korleis ei solsikke ho hadde i hagen, voks veke for veke. Ho målte høgda av solsikka kvar veke i åtte veker. Dei observerte verdiane ser du i tabellen nedanfor.

Etter x veker

1

2

3

4

5

6

7

8

Høgd i cm

16

20

27

40

56

68

107

140

vekst hos ei solsikke. Casutkiipp.

Vi markerer datamaterialet frå tabellen som punkt i eit koordinatsystem.

For å finne ein modell som kan brukast for å beskrive veksten til solsikka, ser det ut som vi må finne ein funksjon som veks raskare og raskare etter som x-verdiane aukar.

Her vil det derfor vere naturleg å prøve med eksponentiell regresjon.

Eksponentiell regresjon i GeoGebra gir

f(x)=10,94·1,38x

Kurve som viser veksten til solsikka. casutklipp.
Kurve

Vi ser at kurva treffer bra med dei observerte verdiane.

Etter modellen var solsikka ca. 10,9 cm då Siv tok til å måle, og ho har vakse med ca. 38 % kvar veke.

Det vil vere naturleg at veksten av solsikka vil minke og etter kvart stanse heilt.

Det kan difor vere at ein logistisk modell her vil vere betre. Logistiske modellar finn du omtala på sida Populasjonsvekst. Logistisk vekst under hovudemnet differensiallikningar.

Læringsressursar

Matematiske modellar

SubjectEmne

Fagstoff

SubjectEmne

Oppgaver og aktiviteter