Hopp til innhald

  1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. GeometriChevronRight
  4. Vektorar på koordinatformChevronRight
  5. Vektorar på koordinatformChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Vektorar på koordinatform

Når vi skal teikne vektorar i eit koordinatsystem, har vi bruk for vektorkoordinatar.

Innleiing

Utan vektorkoordinatar er det ikkje særleg effektivt å rekne med vektorar. Då må vi til dømes parallellflytte vektorar for å finne sum og differanse.

Det hadde vore mykje enklare dersom vektorar kunne beskrivast berre med tal på ein slik måte at vi kunne rekne oss fram til sum, differanse og skalarprodukt.

Det oppnår vi ved å plassere vektorane i eit koordinatsystem.

Definisjon av vektoren a vektor ved hjelp av einingsvektorane i x og y retning i eit koordinatsystem. Her er a vektor summen av fem einingsvektorar i x retning og tre einingsvektorar i y retning. Illustrasjon.

I koordinatsystemet på figuren har vi plassert to vektorar med utgangspunkt i origo. Vektoren ex går frå origo til punktet (1, 0) og ey går frå origo til punktet (0, 1).

Desse vektorane har lengd 1, er parallelle med høvesvis x-aksen og y-aksen og står normalt på kvarandre. Vi kallar dei einingsvektorar. (Vi plasserer til vanleg einingsvektorane med utgangspunkt i origo, men dei kunne like gjerne vore plassert ein annan stad i koordinatsystemet.)

I koordinatsystemet har vi også teiknet a.
Vi ser at vi kan skrive a som ein sum av dei to vektorane ax og ay.

a=ax+ay=5·ex+3·ey

Alle vektorar kan på tilsvarande måte skrivast som ein kombinasjon av einingsvektorane.

Når vi skal teikne a, kan vi starte kor som helst i koordinatsystemet og så gå 5 einingar mot høgre og 3 einingar oppover for å finne vektoren sitt endepunkt. Når tala 5 og 3 er kjente, er vektoren bestemt. Vi fører inn ein forenkla skrivemåte for a.

a=5, 3

Denne skrivemåten liknar på måten punkt blir oppgitt på, men det er ein viktig skilnad. For vektorar bruker vi klammeparentesar, medan vi for punkt bruker vanlege parentesar.

(5, 3) blir kalla punktkoordinatar og angir punktet som har x-koordinat lik 5 og y-koordinat lik 3.

5, 3 blir kalla vektorkoordinatar og tyder det same som vektoren 5·ex+3·ey.

Bilete av vektor i eit koordinatsystem. Illustrasjon.

Døme

b = -2·ex+-3·eyb=-2,-3

Når vi skal teikne b, kan vi starte kor som helst i koordinatsystemet og så gå 2 einingar mot venstre og 3 einingar nedover for å finne vektorens endepunkt.

Definisjon

Alle vektorar kan skrivast som ein vektorsum av einingsvektorar. Dette gir grunnlag for innføring av vektorkoordinatar

x, y=x·ex+y·ey

Vi bruker klammeparentesar for å uttrykkje ein vektor medan vi bruker vanlege parentesar for å uttrykkje eit punkt.

I GeoGebra brukast ikkje hakeparentesar. Her kan (5, 3) tyde både vektor og punkt. Brukar du stor bokstav og skriv A= (5, 3), får du punktet (5, 3). Brukar du liten bokstav og skriv v=(5, 3), får du vektoren [5, 3] med start i origo. GeoGebra brukar også skrivemåten 53 for vektoren, som vi ser av biletet nedanfor.

Koordinatsystem med eit punkt og ein vektor som begge har koordinatane 5 og 3. Illustrasjon.
Vektor og punkt med dei same koordinatane

Læringsressursar

Vektorar på koordinatform