Hopp til innhald

  1. Home
  2. Matematikk for realfagChevronRight
  3. GeometriChevronRight
  4. Vektorar på koordinatformChevronRight
SubjectMaterialFagstoff

Fagartikkel

Tredimensjonale vektorkoordinatar, definisjon og reknereglar

Skilnaden på ein vektor i planet og ein vektor i rommet er éin ekstra koordinat for romvektoren.

Tredimensjonale koordinatsystem
Bilde av vektorer

Alle vektorar i rommet kan på tilsvarande måte som i planet, skrivast som ein vektorsum av einingsvektorar.

Dette gir grunnlag for innføring av vektorkoordinatar også i rommet.

OP = [x, y, z]= x·ex+y·ey+z·ez

Det kan på tilsvarande måte som i planet visast at tilsvarande reknereglar gjeld for vektorar i rommet.

Addisjon av vektorar på koordinatform

[x1, y1, z1]+[x2, y2, z2]=[x1+x2, y1+y2, z1+z2]

Subtraksjon av vektorar på koordinatform

[x1, y1, z1]-[x2, y2, z2]=[x1-x2, y1-y2, z1-z2]

Multiplikasjon av vektor med tal

t·[x, y, z]=[t·x, t·y, t·z]

Vektorar mellom punkt

Gitt punkta A(x1, y1, z1) og B(x2, y2, z2).

Då er

AB=[x2-x1, y2-y1, z2-z1]

Posisjonsvektoren

Bilde av vektorer

Vi ser spesielt at vektoren frå origo
O (0, 0, 0) til eit punkt P (x, y, z) er

OP=[x, y, z].


OP kallar vi posisjonsvektoren til
punktet P.

Legg merke til at punktet og posisjonsvektoren til punktet har «same» koordinatar, men med ein viktig skilnad. Punktet har punktkoordinatar, og vi bruker vanlege parentesar.

Vektoren har vektorkoordinatar, og vi bruker
hakeparentesar.

Skalarproduktet av vektorar gitt på koordinatform

[x1, y1, z1]·[x2, y2, z2]=x1·x2+y1·y2+z1·z2

Døme

[2, 3, 4]·[4, 5, 6]=2·4+3·5+4·6=47

Regne ut skalarproduktet mellom vektorer i CAS GeoGebra. Bilde.


Lengda av ein vektor gitt på koordinatform

Lengda av vektoren x, y, zer gitt ved

[x, y, z]=x2+y2+z2

Døme

[3, 4, 5]=32+42+52=9+16+25=50=25·2=52

Regne lengden til en vektor i CAS GeoGebra. Bilde.

Vinkelen mellom vektorar gitt på koordinatform

Vinkel mellom vektorar i eit koordinatsystem. Bilde.

Gitt vektorane

1, 2, 3 og -3, -1, 1

La α vere vinkelen mellom vektorane.

Definisjonen av skalarproduktet gir då

1, 2, 3·-3, -1, 1 = 1, 2, 3·-3, -1, 1·cosα                 cosα=1, 2, 3·-3, -1, 11, 2, 3·-3, -1, 1                 cosα=-214·11                       α=99,3°

Vinkel mellom vektorer i CAS GeoGebra. Bilde.

Avstanden mellom punkt i rommet

Gitt punkta A(x1, y1, z1) og B(x2, y2, z2)

Då er

AB=[x2-x1, y2-y1, z2-z1]

Avstanden, d, mellom A og B er

d=AB=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2

Til slutt skal vi ta med dei setningane vi bruker når vi skal avgjere om to vektorar eller linjer står ortogonalt på kvarandre, eller om dei er parallelle. Vi føreset at alle vektorane har lengd ulik null.

Ortogonalitet og parallellitet

aba·b=0aba=t·b      hvor t

Bilde av farget lys på svart bakgrunn
Farga lys på svart bakgrunn. Ortogonalitet og parallellitet?

Læringsressursar

Vektorar på koordinatform